Đáp án:

1/ $x^2-4x+1=0$

2/ $B=\dfrac{9999}{100}$

$C=6$

Giải thích các bước giải:

1/ Đặt phương trình bậc hai cần tìm là: $ax^2+bx+c=0$ $(a \neq 0; a, b, c ∈ Z)$

Vì $2+\sqrt{3}$ là 1 nghiệm của phương trình

nên $a(2+\sqrt{3})^2+b(2+\sqrt{3})+c=0$

$⇔ a(7+4\sqrt{3})+b(2+\sqrt{3})+c=0$

$⇔ 7a+2b+c+4a\sqrt{3}+b\sqrt{3}=0$

$⇔ 7a+2b+c=-(4a+b)\sqrt{3}$

$*)$ Nếu $4a+b \neq 0$ thì $\dfrac{7a+2b+c}{4a+b}=-\sqrt{3}$

Điều này vô lí vì $VP$ là số vô tỉ, $VT$ là số hữu tỉ (do $a, b, c ∈ Z$)

$⇒ 4a+b=0$

Khi đó, $\begin{cases}4a+b=0 \\7a+2b+c=0\end{cases}$

$⇒ 2(4a+b)-(7a+2b+c)=0$

$⇔ a-c=0$

$⇔ a=c$

Như vậy, $4a=4c=-b$

Thay vào phương trình ta được: $ax^2-4ax+a=0$

Chia 2 vế phương trình cho $a \neq 0$ ta được:

$x^2-4x+1=0$

Vậy phương trình cần tìm là $x^2-4x+1=0$

2/ *) Xét `(1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})^2` $(k ∈ N*)$

`=1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}+\frac{2}{k}-\frac{2}{k+1}-\frac{2}{k(k+1)}`

`=1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}+\frac{2(k+1)-2k-2}{k(k+1)}`

`=1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}`

`⇒ \sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}`

Ta có: $B=\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{99^2}+\dfrac{1}{100^2}}$

$⇔ B=1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+1+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}$

$⇔ B=99+1-\dfrac{1}{100}$

$⇔ B=100-\dfrac{1}{100}$

$⇔ B=\dfrac{9999}{100}$

$*)$ $C=\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}$

$⇔ C=\sqrt[3]{3^3+3.3^2.\sqrt{2}+3.3(\sqrt{2})^2+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3^3-3.3^2\sqrt{2}+3.3(\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}}$

$⇔ C=\sqrt[3]{(3+\sqrt{2})^3}+\sqrt[3]{(3-\sqrt{2})^3}$

$⇔ C=3+\sqrt{2}+3-\sqrt{2}$

$⇔ C=6$

Gọi pt bậc 2 cần tìm là 

$ax^2+bx+c=0\ (a\ne0)$

Có $2+\sqrt{3}$ là 1 nghiệm

$\Rightarrow x=\dfrac{-b+\sqrt{∆}}{2a}=2+\sqrt{3}$

Giả sử $a=1\Rightarrow -b+\sqrt{∆}=4+2\sqrt{3}\\\Rightarrow b=-4;∆=12$

$∆=b^2-4ac=(-4)^2-4.1.c=12\\\Rightarrow c=1$

$\Rightarrow$ pt bậc 2 cần tìm là

$x^2-4x+1=0$