Giải thích các bước giải:

$a)$ Ta có: Ax là phân giác góc ngoài tại đỉnh A của ΔABC.

Do đó $\widehat{EAx}=\widehat{CAx}$

Hay $\widehat{EAH}=\widehat{FAH}$

Xét hai tam giác vuông AHE và AHF có:

AH là cạnh chung

$\widehat{EAH}=\widehat{FAH}$ (cmt)

Nên $ΔAHE=ΔAHF$ (g - c - g)

Vậy AE = AF (hai cạnh tương ứng)

$b)$ Ta có: $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}$ (vì $ΔAHE=ΔAHF$)

Lại có: $\widehat{BIM}=\widehat{CFM}$ (vì $By // AC$; so le trong)

Mà $\widehat{AFH}=\widehat{CFM}$ (hai góc đối đỉnh)

Nên $\widehat{AEH}=\widehat{BIM}(=\widehat{AFH}=\widehat{CFM})$

Do đó tam giác BEI cân tại B

Vậy $BE = BI$

$c)$ Xét hai tam giác CMF và BMI có:

$\widehat{BMI}=\widehat{CMF}$ (hai góc đối đỉnh)

$BM=CM$ (vì M là trung điểm BC)

$\widehat{IBM}=\widehat{FCM}$ (vì $By // AC$; so le trong)

Nên $ΔCMF=ΔBMI$ (g - c - g)

Do đó $CF=BI$ (hai cạnh tương ứng)

Mà $BI=BE$ (cmt)

Vậy $BE=CF(=BI)$ 

$d)$ Ta có: $\widehat{AFB}+\widehat{AFE}>\widehat{AFE}$

$=>\widehat{AFB}+\widehat{AFE}>\widehat{BEF}$ (vì $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}$)

$=>\widehat{BFE}>\widehat{BEF}$

$=>BE>BF$ (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác BFE)

$=>CF>BF$ (vì $BE=CF$)

Vậy $CF>BF$

 C/m AE = AF

Xét ∆ vuông AHE và ∆ vuông AHF ( góc AHE = góc AHF = 90° ) có:

AH chung

Góc EAH = góc FAH (Ax là p/g)

➡️∆ vuông AHE = ∆ vuông AHF (cv - gnk)

➡️AE = AF (2 cạnh t/ư)

 C/m BE = BI

Xét ∆ AHE = ∆ AHF (cmt)

➡️Góc AEH = góc AFH (2 góc t/ư)

mà góc AFH = góc MFC (đối đỉnh)

➡️Góc AEH = góc MFC (1)

Vì AC song song vs By (gt)

➡️Góc MFC = góc MIB (2 góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ➡️góc AEH = góc MIB

➡️∆ EBI cân tại B

➡️BE = BI (đpcm)

 C/m BE = CF

Vì AC song song vs By (gt)

➡️Góc FCM = góc IBM (2 góc so le trong)

Xét ∆ FCM và ∆ IBM có:

Góc FCM = góc IBM (cmt)

MC = MB (M là trung điểm BC)

Góc FMC = góc IMB (đối đỉnh)

➡️∆ FCM = ∆ IBM (g.c.g)

➡️CF = BI (2 cạnh t/ư)

mà BE = BI (cmt)

➡️BE = CF (đpcm)

✳️ C/m CF lớn hơn BF

Xét ∆ ABC có AB nhỏ hơn 1/2 AC (gt)

➡️Góc ACB nhỏ hơn 1/2 góc ABC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

mà góc FBC lớn hơn 1/2 góc ABC

➡️góc ACB nhỏ hơn góc FBC

Xét ∆ BFC có góc ACB nhỏ hơn góc FBC (cmt)

➡️BF nhỏ hơn CF (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

✳️ C/m góc BMF nhỏ hơn góc CMF

Xét ∆ BMF và ∆ CMF có:

MF chung

MB = MC (gt)

mà BF nhỏ hơn CF (cmt)

➡️Góc BMF nhỏ hơn góc CMF (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)