Đáp án:

`y=x^3+3x`

`->y'=3x^2+3`

`a)`

$\text{ Hoành độ bằng 2:}$

`->x_0=2`

`->y_0=2^3+3.2=14`

`->A(2;14)`

$\text{ Phương trình tiếp tuyến tại A(2;14) là:}$

`y=y'(x_0).(x-x_0)+y_0`

`=(3.2^2+3).(x-2)+14`

`=15.(x-2)+14`

`=15x-16`

`b)`

$\text{ Tung độ bằng 4:}$

`->y_0=4`

`->x_0^3+3x_0=4`

`->x_0=1`

`->B(1;4)`

$\text{ Phương trình tiếp tuyến tại B(1;4) là:}$

`y=y'(x_0).(x-x_0)+y_0`

`=(3.1^3+3.1).(x-1)+4`

`=6.(x-1)+4`

`=6x-2`

`c)`

$\text{ Hệ số góc bằng 6:}$

`->k=6`

`->y'(x_0)=6`

`->3x_0^2+3=6`

`->`\(\left[ \begin{array}{l}x_0=1→y_0=4\\x_0=-1→y_0=-4\end{array} \right.\) 

`->(1;4);(-1;-4)`

$\text{ Phương trình tiếp tuyến tại (1;4) là:}$

`y=k.(x-x_0)+y_0`

`=6.(x-1)+4`

`=6x-2`

$\text{ Phương trình tiếp tuyến tại (-1;-4) là:}$

`y=k.(x-x_0)+y_0`

`=6.(x+1)-4`

`=6x+2`

`d)`

`x+15y-2=0->15y=-x+2->y=(-x)/(15)+(2)/(15)`

$\text{ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=\dfrac{-x}{15}+\dfrac{2}{15}$:}$

`->k.(-1)/(15)=-1`

`->k=15`

`->y'(x_0)=15`

`->3x_0^2+3=15`

`->`\(\left[ \begin{array}{l}x_0=2→ y_0=14\\x_0=-2→y_0=-14\end{array} \right.\) 

`->(2;14);(-2;-14)`

$\text{ Phương trình tiếp tuyến tại (2;14) là:}$

`y=k.(x-x_0)+y_0`

`=15.(x-2)+14`

`=15x-16`

$\text{ Phương trình tiếp tuyến tại (-2;-14) là:}$

`y=k.(x-x_0)+y_0`

`=15.(x+2)-14`

`=15x+16`

`e)`

$\text{ Tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;-14) có hệ số góc k có phương trình là:}$

`y=k.(x+2)-14(d)`

$\text{(d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ phương trình sau có nghiệm:}$

$\begin{cases}x^3+3x=k.(x+2)-14\\k=3x^2+3\end{cases}$

`->x^3+3x=(3x^2+3).(x+2)-14`

`->x^3+3x=3x^3+6x^2+3x+6-14`

`->2x^3+6x^2-8=0`

`->`\(\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=-2\end{array} \right.\) 

`+)x=1->k=3.1^2+3=6`

$\text{ Phương trình tiếp tuyến là: y=6(x+2)-14=6x-2}$

`+)x=-2->k=3.(-2)^2+3=15`

$\text{ Phương trình tiếp tuyến là : y=15(x+2)-14=15x+16}$