Đáp án:

$D.\ 7$

Giải thích các bước giải:

Đặt $AB = BC = CD = DA = x$

$\Rightarrow AC = BD = x\sqrt2$

Gọi $H$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow \begin{cases}SH\perp AB\\SH =\dfrac{x\sqrt3}{2}\end{cases}$ (đường cao trong tam giác đều)

Ta có:

$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\\(SAB)\cap (ABCD)= AB\\SH\perp AB\\SH\subset (SAB)\end{cases}$

$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$

Kẻ $AE//BD\ (E\in BC)$

$\Rightarrow AEBD$ là hình bình hành

$\Rightarrow AE = BD = x\sqrt2$

Gọi $M,\ N$ là trung điểm $AE,\ AN$

$\Rightarrow \begin{cases}BM=\dfrac12AE = \dfrac{x\sqrt2}{2}\\BM\perp AE\end{cases}$ ($\triangle AEB$ vuông cân tại $B$)

$\Rightarrow \begin{cases}HN=\dfrac12BM = \dfrac{x\sqrt2}{4}\\HN\perp AE\end{cases}$ ($HN$ là đường trung bình của $\triangle AMB$)

Ta có:

$\begin{cases}HN\perp AE\quad (cmt)\\SH\perp AE\quad (SH\perp (ABCD))\end{cases}$

$\Rightarrow AE\perp (SHN)$

Trong $mp(SHN)$ kẻ $HK\perp SN$

$\Rightarrow AE\perp HK$

$\Rightarrow HK\perp (SAE)$

$\Rightarrow HK = d(H;(SAE))$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SHN$ vuông tại $H$ đường cao $HK$ ta được:

$\quad \dfrac{1}{HK^2} =\dfrac{1}{SH^2} +\dfrac{1}{HN^2}$

$\Rightarrow HK =\dfrac{SH.HN}{\sqrt{SH^2 + HN^2}}=\dfrac{\dfrac{x\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{x\sqrt2}{4}}{\sqrt{\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{3x^2}{4}}}$

$\Rightarrow HK = \dfrac{x\sqrt{21}}{14}$

Mặt khác:

$BD//AE$ (cách dựng)

$\Rightarrow BD// (SAE)$

$\Rightarrow d(BD;SA) = d(BD;(SAE))= d(B;(SAE)) = \sqrt{21}$

Gọi $BI = d(B;(SAE))$

$\Rightarrow BI//HK\quad (\perp (SAE))$

Lại có: $AH = HB =\dfrac12AB$

nên $HK = \dfrac12BI$

$\Rightarrow BI = 2HK =\dfrac{x\sqrt{21}}{7}$

$\Rightarrow \sqrt{21} = \dfrac{x\sqrt{21}}{7}$

$\Rightarrow x = 7$