Đáp án:

`a,`

Xét `ΔABC` và `ΔADE` có :

`hat{EAD} = hat{CAB} = 90^o`

`AE = AC` (Do `ΔACE` cân tại `A`)

`AB = AD` (Do `ΔABD` cân tại `A`)

`-> ΔABC = ΔADE` (cạnh - góc - cạnh)

`-> BC =DE` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

$b,$

Do `ΔACE` vuông cân tại `A`

`-> hat{ACE} = hat{AEC} = (180^o - hat{A})/2 = (180^o - 90^o)/2`

`-> hat{ACE} = hat{AEC} = 90^o/2`

`-> hat{ACE} = hat{AEC} =45^o` `(1)`

Do `ΔABD` vuông cân tại `A`

`-> hat{ABD} = hat{ADB} = (180^o - hat{A})/2 = (180^o - 90^o)/2`

`-> hat{ABD} = hat{ADB} = 90^o/2`

`-> hat{ABD} = hat{ADB} = 45^o` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> hat{ACE} = hat{ADB} = 45^o`

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ BD//CE$

$\\$

$\\$

$c,$

Có : `NA⊥CM`

`-> NA` là đường cao của `ΔCMN`

Có : `MH⊥CN`

`-> MH` là đường cao của `ΔCMN`

Xét `ΔCMN` có :

`NA` là đường cao

`MH` là đường cao

`NA` cắt `MH` tại `A`

`-> A` là trực tâm của `ΔCMN`

`-> CA` là đường cao của `ΔCMN`

`-> CA⊥NM`

$\\$

$\\$

$d,$

Do `ΔABC = ΔADE` (chứng minh trên)

`-> hat{MEA} = hat{ACB}` (2 góc tương ứng)

Có : `hat{MAE}= hat{HAB}` (2 góc đối đỉnh)

mà `hat{HAB} = hat{ACB}` (Cùng phụ `hat{ABC}`)

`-> hat{MAE} = hat{ACB} (= hat{HAB}`

Lại có : `hat{MEA} = hat{ACB}`

`-> hat{MAE} = hat{MEA} (= hat{ACB})`

`-> ΔAEM` cân tại `M`

`-> AM =ME` `(3)`

Do `ΔABC = ΔADE` (chứng minh trên)

`-> hat{MDA} = hat{ABC}` (2 góc tương ứng)

Có : `hat{MAD} = hat{CAH}` (2 góc đối đỉnh)

mà `hat{CAH} = hat{ABC}` (Cùng phụ `hat{HAB}`)

`-> hat{MAD} = hat{ABC} (= hat{CAH})`

Lại có : `hat{MDA} = hat{ABC}`

`-> hat{MAD} = hat{MDA} (= hat{ABC})`

`-> ΔAMD` cân tại `M`

`-> AM = MD` `(4)`

Từ `(3), (4)`

`-> ME = AM = MD`

`-> AM = (DE)/2`

`\text{a)}`

Xét `\Delta ABC` vuông tại `A` và `\Delta ADE` vuông tại `A` có :

`AB = AD ( \text{gt} )`

`AC = AE`

`-> \Delta ABC = \Delta ADE ( \text{ 2 cạnh góc vuông } )`

`-> BC = DE` ( `2` cạnh tương ứng )

`\text{b)}`    

Ta có :

`\hat{ADB} + \hat{ABD} = 90^o`

`\hat{AEC} + \hat{ACE} = 90^o`

`-> \hat{ADB} + \hat{ABD} = \hat{AEC} + \hat{ACE}`

`-> 2\hat{ADB} = 2\hat{ACE}`

`-> \hat{ADB} = \hat{ACE}`

Mà đây là `2` góc so le trong

`-> BD \text{ // } CE`  

`\text{c)}`             

Vì `NF ⊥ MC ->NF` là đường cao xuất phát từ `N`

Vì `MH ⊥ CN -> MH` là đường cao xuất phát từ `M`

`-> A` là trực tâm  của `\Delta MCN`

`-> CA ` là đường cao xuất phát từ `C` ứng với cạnh `MN`

`-> CA ⊥ MN`

`\text{d)}`   

Ta có :

`\hat{MEA} = \hat{ACB} ( \Delta ABC = \Delta ADE )`

`\hat{ACB} = \hat{HAB} -> \hat{MEA} = \hat{HAB}`

  `\hat{MAE} = \hat{HAB}` ( `2` góc đối đỉnh )

`-> \hat{MEA} =\hat{MAE} -> \Delta AEM` cân tại `M` `->  AM = ME`

`-> \hat{MAE} = \hat{ACB}`  

`\hat{MDA}  = \hat{ABC}  ( \Delta ABC = ADE )`

Vì `\hat{MAD}` và `\hat{CAH}` là `2` góc đối đỉnh

`-> \hat{MAD} = \hat{CAH}`

`-> \hat{MAD} = \hat{CAH}  = \hat{ABC} ( \hat{CAH} = \hat{ABC} )`

`-> \hat{MAD} = \hat{ABC}`

`-> \hat{MAD} = \hat{MDA} ( = \hat{ABC} )`

`-> AM = MD` 

Mà `AM = ME`

`-> ME = MD ( = AM ) -> AM = {DE}/2`