Lời giải

Xét `n=1` thì `n^4+n^3+1=1+1+1=3` không là số chính phương.

Xét `n≥2<=>n^2≥4`

 Đặt `A=n^4+n^3+1`

`=>4A=4(n^4+n^3+1)=4n^4+4n^3+4`

Ta có: `n^2≥4=>4n^4+4n^3+n^2≥4n^4+4n^3+4`

`<=>(2n^2+n)^2≥4A` `(1)`

Ta cần chứng minh `4A≥B^2` hoặc `4A>B^2` để từ đó dùng phương pháp kẹp giữa hai hay nhiều số chính phương.

Bắt đầu thử từ `(2n^2+n-1)^2.`

Ta có: `(2n^2+n-1)^2=4n^4+4n^3-3n^2-2n+1=4A-(3n^2-2n)=4A-n(3n-2)`

Với `n≥2` thì `n(3n-2)≥2(3.2-2)=8>0`

`=>4A≥(2n^2+n-1)^2+8<=>4A>(2n^2+n-1)^2` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`, suy ra `(2n^2+n)^2≥4A>(2n^2+n-1)^2`

Mà `(2n^2+n)^2,(2n^2+n-1)^2` là hai số chính phương liên tiếp nên `4A` chỉ có thể bằng `(2n^2+n)^2`

Mà ở phía trên, ta đã chứng minh được `n^2≥4=>4n^4+4n^3+n^2≥4n^4+4n^3+4=A`. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi `n^2=4<=>n=2` (vì `n` là số nguyên dương)

Thử lại, ta thấy với `n=2` thì `n^4+n^3+1=2^4+2^3+1=16+8+1=25` là số chính phương.

Vậy `n=2.`