a, Xét `ΔAIM` và `ΔBCM` có:

AM = CM (vì M là trung điểm của AC)

`hat{M_{1}} = hat{M_{2}}` (2 góc đối đỉnh)

BM = IM (gt)

`=> ΔAIM = ΔCBM (c.g.c)`   (đpcm)

b, Ta có: `ΔAIM = ΔCBM` (cmt)

`=> hat{I} = hat{CBM}` (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

`=>` AI // BC  (1)

Xét `ΔAKN` và `ΔBCN` có:

AN = BN (vì N là trung điểm của AB)

`hat{N_{1}} = hat{N_{2}}` (2 góc đối đỉnh)

KN = CN (gt)

`=> ΔAKN = ΔBCN (c.g.c)`

`=> hat{K} = hat{BCN}` (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

`=>` AK // BC  (2)

Từ (1), (2)

`=>` đpcm

c, Ta có: AI // BC và AK // BC

Mà theo tiên đề Ơ-clit thì qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho

`=>` AI // BC và AK // BC trái với tiên đề Ơ-clit

`=> 3` điểm A, I, K thẳng hàng  (3)

Lại có: AK = BC (vì `ΔAKN = ΔBCN`) ; AI = BC (vì `ΔAIM = ΔCBM`)

`=> AK = AI`  (4)

Từ (3), (4)

`=> A` là trung điểm của IK   (đpcm)