Đáp án:

$a)$

Hàm số đồng biến khi $m>2$

Hàm số nghịch biến khi $m<2$

$b) m=1\\ c)m=3\\ d)C(2;5)\\ e)D(0;3)\\ f)m=2 \pm 2\sqrt{2}$

Giải thích các bước giải:

$a)$ Hàm số đồng biến khi $m-2>0 \Leftrightarrow m>2$

Hàm số nghịch biến khi $m-2>0 \Leftrightarrow m<2$

$b)A(1;2) \in (d)\\ \Leftrightarrow 2=(m-2)+3\\ \Leftrightarrow m=1\\ c)(d)// y=x\\ \Leftrightarrow m-2=1\\ \Leftrightarrow m=3\\ d)\circledast (d): y=x+3\\ x=0 \Rightarrow y=3 \Rightarrow A(0;3) \in (d)\\ y=0 \Rightarrow x=-3 \Rightarrow B(-3;0) \in (d)$

Vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm $A,B$ được đồ thị hàm số cần tìm

$\circledast$ Phương trình hoành độ gia điểm:

$x+3=2x+1\\ \Leftrightarrow x=2\\ \Rightarrow y=5$

$\Rightarrow C(2;5)$ là giao của $(d)$ và $y=2x+1$

$e)(d)$ luôn đi qua 1 điểm cố định

$\Leftrightarrow$ Điểm đó không phụ thuộc vào giá trị của $m$

$\Leftrightarrow x=0 \Rightarrow y=3$

$\Rightarrow D(0;3)$ là điểm mà $(d)$ luôn đi qua

$f)$Đường thẳng $(d')$ vuông góc với $(d)$ và đi qua gốc $O$ có dạng $y=ax+b$ với $a,b$ thoả:

$\left\{\begin{array}{l} (m-2).a=-1\\ 0=a.0+b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} a=\dfrac{1}{2-m}\\ b=0\end{array} \right.\\ \Rightarrow (d'): y=\dfrac{1}{2-m}x$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(d'):$

$\dfrac{1}{2-m}x = (m-2)x+3\\ \dfrac{3}{m^2−4m+5} x=\dfrac{3(2−m)}{m^2−4m+5}\\ \Rightarrow y=(m-2)\dfrac{3(2−m)}{m^2−4m+5}+3\\ =-(m-2)^2\dfrac{3(2−m)}{m^2−4m+5}+3\\ =\dfrac{3}{m^2−4m+5}\\ \Rightarrow E\left(\dfrac{3(2−m)}{m^2−4m+5};\dfrac{3}{m^2−4m+5}\right)$

Khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ là đoạn $OE$

$OE=1\\ \Leftrightarrow OE^2=1\\ \Leftrightarrow \dfrac{(3(2−m))^2}{(m^2−4m+5)^2}+\dfrac{3^2}{(m^2−4m+5)^2}=1\\\Leftrightarrow \dfrac{−36m+9m^2+45}{(m^2−4m+5)^2}=1\\\Leftrightarrow(m^2−4m+5)^2+36m-9m^2-45=0\\\Leftrightarrow (m^2−4m+5)^2-9(m^2−4m+5)=0\\\Leftrightarrow (m^2−4m+5)(m^2−4m-4)=0\\\Leftrightarrow ((m-2)^2+1)(m^2−4m-4)=0\\\Leftrightarrow m^2−4m-4=0\\\Leftrightarrow m=2 \pm 2\sqrt{2}$