\(\begin{array}{l}
\quad y = \dfrac{1}{1+2x}\\
a)\quad y' = - \dfrac{2}{(1 + 2x)^2}\\
\quad y'' = \dfrac{8}{(1 + 2x)^3}\\
\quad y''' = - \dfrac{48}{(1 + 2x)^4}\\
b)\quad \text{Dự đoán đạo hàm cấp n:}\\
\quad y^{(n)} = \dfrac{(-1)^n.2^n.n!}{(1 + 2x)^{n+1}}\\
\text{Chứng minh:}\\
\text{- Với $n = 1$ ta được:}\\
\quad y' = \dfrac{(-1)^1.2^1.1!}{(1 + 2x)^{1+1}} = - \dfrac{2}{(1 + 2x)^2}\quad \text{(đúng)}\\
\text{- Giả sử công thức đúng với $n = k$}\\
hay\ \ y^{(k)} =  \dfrac{(-1)^k.2^k.k!}{(1 + 2x)^{k+1}}\\
\text{- Ta cần chứng minh công thức đúng với $n = k + 1$}\\
\text{tức là}\ \ y^{(k+1)}= \dfrac{(-1)^{k+1}.2^{k+1}.(k+1)!}{(1 + 2x)^{k+2}}\\
\text{Thật vậy, ta có:}\\
\quad y^{(k+1)} = \left[y^{(k)}\right]'\\
\Leftrightarrow y^{(k+1)} = \left[\dfrac{(-1)^k.2^k.k!}{(1 + 2x)^{k+1}} \right]'\\
\Leftrightarrow y^{(k+1)} = (-1)^k.2^k.k!\cdot [(1 + 2x)^{-k-1}]'\\
\Leftrightarrow y^{(k+1)} = (-1)^k.2^k.k!.(-k-1).2.(1 + 2x)^{-k-2}\\
\Leftrightarrow y^{(k+1)} = (-1)^k.2^k.k!.(-1).(k+1).2\cdot \dfrac{1}{(1 + 2x)^{k+2}}\\
\Leftrightarrow y^{(k+1)} = \dfrac{(-1)^{k+1}.2^{k+1}.(k+1)!}{(1 + 2x)^{k+2}}\\
\text{Vậy công thức}\ y^{(k+1)} = \dfrac{(-1)^{k+1}.2^{k+1}.(k+1)!}{(1 + 2x)^{k+2}}\ \text{đúng}\\
\text{Do đó:}\ y^{(n)} = \dfrac{(-1)^n.2^n.n!}{(1 + 2x)^{n+1}}\quad \forall x\in \Bbb N
\end{array}\)

Đáp án:

Giải thích các bước giải: