a, HM ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{HMA}=90°$

HN ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{HNA}=90°$

Xét tứ giác AMHN có: $\widehat{HMA}+\widehat{HNA}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn đường kính AH

b, AH ⊥ BC (gt) ⇒ $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔABH vuông tại H ($\widehat{AHB}=90°$), HM ⊥ AB (gt) có: AH² = AM.AB

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔACH vuông tại H ($\widehat{AHC}=90°$), HN ⊥ AC (gt) có: AH² = AN.AC

⇒ AM.AB = AN.AC

c, Xét (O), đường kính AE có: C ∈ (O) (gt)

⇒ $\widehat{ACE}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Hay $\widehat{ECN}=90°$

Xét ΔACE vuông tại C ($\widehat{ACE}=90°$) có:

$\widehat{CAE}+\widehat{AEC}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Hay $\widehat{NAI}+\widehat{AEC}=90°$

Xét (O) có: $\widehat{AEC}=\widehat{ABC}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{AC}$)

AM.AB = AN.AC (cmt) ⇒ $\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$

Xét ΔAMN và ΔACB có:

$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$ (cmt)

$\widehat{BAC}$: góc chung

⇒ ΔAMN ~ ΔACB (c.g.c)

⇒ $\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AEC}=\widehat{ABC}$ (cmt)

⇒ $\widehat{AEC}=\widehat{ANM}$ Hay $\widehat{AEC}=\widehat{ANI}$

Mà $\widehat{NAI}+\widehat{AEC}=90°$ (cmt)

⇒ $\widehat{NAI}+\widehat{ANI}=90°$

Xét ΔANI có: $\widehat{NAI}+\widehat{ANI}=90°$ (cmt)

⇒ ΔANI vuông tại I ⇒ AE ⊥ MK tại I

⇒ $\widehat{EIN}=90°$

Xét tứ giác CEIN có: $\widehat{ECN}+\widehat{EIN}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác CEIN nội tiếp đường tròn đường kính NE

Có AE ⊥ MK tại I (cmt) ⇒ $\widehat{AIN}=90°$

Xét ΔAIN và ΔACE có:

$\widehat{AIN}=\widehat{ACE}=90°$

$\widehat{CAE}$: góc chung

⇒ ΔAIN ~ ΔACE (g.g)

⇒ $\frac{AI}{AC}=\frac{AN}{AE}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ AI.AE = AN.AC

Mà AH² = AN.AC (cmt)

⇒ AH² = AI.AE

Xét (O), đường kính AE có: K ∈ (O)

⇒ $\widehat{AKE}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔAKE vuông tại K ($\widehat{AKE}=90°$), KI ⊥ AE (KM ⊥ AE) có: 

AK² = AI.AE

Mà AH² = AI.AE (cmt)

⇒ AK² = AH² ⇒ AK = AH

Xét ΔAKH có: AK = AH (cmt)

⇒ ΔAKH cân tại A

Ý cuối câu c mk lười trình bày , gợi ý thôi nha

Bạn cm ∆AIM đồng dạng ∆ABE (g.g)

=> AI.AE = AM.AB 

   => AK = AH 

∆ AKH cân tại A