Đáp án:

`a,`

Trên tia đối của `AD` lấy `M` sao cho `AD = DM`

Có : `AD = DM` (cách dựng)

`-> D` là trung điểm của `AM`

`-> AD = 1/2 AM`

`-> AM = 2AD`

$\\$

Xét `ΔADC` và `ΔMDB` có :

`hat{ADC} = hat{MDB}` (2 góc đối đỉnh)

`BD = CD` (Do `AD` là đường trung tuyến)

`AD = DM` (cách dựng)

`-> ΔADC = ΔMDB` (cạnh - góc - cạnh)

`-> BM = AC` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔABM` có :

`AB + BM > AM`

mà `BM = AC` (chứng minh trên), `AM = 2 AD` (chứng minh trên)

`-> AB + AC > 2AD`

`-> AD < (AB + AC)/2`

$\\$

$\\$

$b,$

Xét `ΔABC` có :

`BE` là đường trung tuyến 

`CF` là đường trung tuyến

`BE` cắt `CF` tại `G`

`-> G` là trọng tâm của `ΔABC`

$\\$

Do `G` là trọng tâm của `ΔABC`

mà `CF` là đường trung tuyến, `BE` là đường trung tuyến

`->` \(\left\{ \begin{array}{l}BG = \dfrac{2}{3}BE\\CG=\dfrac{2}{3}CF\end{array} \right.\)

$\\$

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔBGC` có :

`BG + CG > BC`

mà \(\left\{ \begin{array}{l}BG = \dfrac{2}{3}BE\\CG=\dfrac{2}{3}CF\end{array} \right.\) (chứng minh trên)

`-> 2/3 CF + 2/3 BE > BC`

`-> 2/3 (BE + CF) > BC`

`-> BE + CF > 3/2 BC`

$\\$

$\\$

$c,$

Có : `BE + CF > 3/2 BC` (chứng minh trên)

Chứng minh tương tự có :

`->` \(\left\{ \begin{array}{l}AD + BE> \dfrac{3}{2}AB \\ AD + CF > \dfrac{3}{2}AC \end{array} \right.\)

Cộng theo vế ta được :

`-> BE + CF + AD + BE + AD + CF > 3/2 BC + 3/2 AB + 3/2 AC`

`-> 2AD + 2 BE + 2CF > 3/2 (AB + AC + BC)`

`-> 2 (AD + BE + CF) > 3/2 (AB + AC + BC)`

`-> AD + BE + CF > 3/4 (AB + AC + BC)` `(1)`

$\\$

Có : `AD < (AB + AC)/2`

Chứng minh tương tự :

`->` \(\left\{ \begin{array}{l}BE < \dfrac{AB + BC}2\\CF < \dfrac{BC + AC}2\end{array} \right.\)

Cộng theo vế ta được :

`-> AB + BE + CF < (AB + AC)/2 + (AB + BC)/2 + (BC + AC)/2`

`-> 2AB + 2BE + 2CF < AB + AC + AB + BC + BC + AC`

`-> 2 (AB + BE + CF) < 2AB + 2AC + 2BC`

`-> 2( AB + BE + CF) < 2 (AB + AC + BC)`

`-> AB + BE + CF < AB + AC + BC` `(2)`

$\\$

Từ `(1), (2)`

`-> 3/4 (AB + BC+ AC) < AD + BE + CF < AB + BC + AC`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a)`
Trên tia đối của `AD` lấy `K` sao cho `AD = Dk`
Xét `ΔBDA` và `ΔCDK` có :
`hat{BDA} = hat{CDK}` (đối đỉnh)
`AD = DK`
`BD = CD` (vì `AD` là đường trung tuyến)
`-> ΔBDA = ΔCDH` (c-g-c)
`-> AB = CK`
Áp dụng BĐT vào `ΔACK` có :
`CK + AC > AK`
mà `AB  =CK` (cmt), `AD = 2AK` (VÌ `AD = DK`)
`-> AB + AC > 2AD`
`-> AD < (AB + AC)/2`
`b)`

Xét `ΔABC` có : 

`*)AD` là đường trung tuyến

`*)CF` là đường trung tuyến

`*)BE` là đường trung tuyến

`AD,CF,BE ∩ tại G`

`-> G` là trọng tâm của `ΔABC`

$\left\{ \begin{array}{l}BG = \dfrac{2}{3}BE\\CG=\dfrac{2}{3}CF\end{array} \right.$

Áp dụng BĐT vào ΔBGC có :

`BG + GC > BC`

mà $\left\{ \begin{array}{l}BG = \dfrac{2}{3}BE\\CG=\dfrac{2}{3}CF\end{array} \right.$

`-> 2/3 BE + 2/3 CF > BC`

`-> 2/3 (BE + CF) > BC`

`-> BF + CE > 3/2BC`

`c)`

có : $\left\{ \begin{array}{l}BE + CF > \dfrac{3}{2}BC\\BE + AD > \dfrac{3}{2}AB\\CF+ AD > \dfrac{3}{2}AC\end{array} \right.$

`↔BE + CF + BE + AD + CF + AD > 3/2 BC + 3/2 AB + 3/2AC`

`-> 2BE + 2CF + 2AD > 3/2 (AB + AC + BC)`

`-> 2 (BE + CF + AD) > 3/2 (AB + AC + BC)`

`-> BE + CF + AD > 3/4 (AB + AC + BC) (1)`

$→\left\{ \begin{array}{l}2AD < AB + AC\\2CF < BC + AC\\2BE < AB + AC\end{array} \right.$
`↔2AD + 2CF + 2BE < AB + AC + BC + AC + AB + AC`

`-> 2AD + 2CF + 2BE < 2AB + 2AC + 2BC`
`-> 2 (AD + CF + BE) < 2 (AB + AC + BC)`
`-> AD +BE + CF < AB + AC + BC` `(2)`
Từ `(1), (2)` suy ra `3/4 (AB + AC + BC) < AD + BE + CF < AB + AC + BC(đpcm)`