Đáp án:

`a,`

Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :

`hat{AHB} = hat{AHC} = 90^o`

`AH` chung

`AB =AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> ΔAHB = ΔAHC` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`-> HB = HC` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

$b,$

Có : `HB = HC` (chứng minh trên)

`-> H` là trung điểm của `BC`

`-> AH` là đường trung tuyến của `ΔABC`

Có : `HI = 1/3 AH`

`-> (HI)/(AH) = 1/3`

Xét `ΔABC` có :

`AH` là đường trung tuyến

`(HI)/(AH) = 1/3`

`-> I` là trọng tâm của `ΔABC`

mà `CI` cắt `AB` tại `E`

`-> CE` là đường trung tuyến của `ΔABC`

`-> E` là trung điểm của `AB`

Do `I` là trọng tâm của `ΔABC`

mà `BI` cắt `AC` tại `D`

`-> BD` là đường trung tuyến của `ΔABC`

`-> D` là trung điểm của `AC`

$\\$

$\\$

$c,$

Do `ΔAHB = ΔAHC` (chứng minh trên)

`-> hat{BAH} = hat{CAH}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{EAH} = hat{DAH}` (2 góc tương ứng)

Do `E` là trung điểm của `AB`

`-> AE = BE= 1/2 AB`

Do `D` là trung điểm của `AC`

`-> AD = CD = 1/2 AC`

Do `ΔABC` cân tại `A`

`-> AB = AC`

Từ đó `-> AE = BE = AD = CD`

Có : `AE = AD` (chứng minh trên)

`-> A` nằm trên đường trung trực của `ED` `(1)`

Xét `AEH` và `ADH` có :

`hat{EAH} = hat{DAH}` (chứng minh trên)

`AH` chung

`AE =AD` (chứng minh trên)

`-> ΔAEH = ΔADH` (cạnh - góc - cạnh)

`-> EH = DH` (2 cạnh tương ứng)

`-> H` nằm trên đường trung trực của `ED` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> AH` là đường trung trực của `ED`

hay `ED` là đường trung trực của `AH`

$\\$

$\\$

`d,`

Do `AH` là đường trung trực của `ED`

`-> AH⊥ED`

và `K` là trung điểm của `ED`

`-> HK` là đường trung tuyến của `ΔHDE`

Có : `AH⊥ED`

`-> AK` là đường cao của `ΔAEH`

Do `E` là trung điểm của `AB`

`-> AE = 1/2 AB`

Xét `ΔABH` có :

`HE` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `AN`

`-> HE = 1/2 AB`

mà `AE =1/2 AB` (chứng minh trên)

`-> AE = HE (= 1/2 AB)`

`-> ΔAEH` cân tại `E`

mà `EK` là đường cao

`-> EK` là đường trung tuyến của 

`-> K` là trung điểm của `AH`

`-> HK = 1/2 AH`

`-> AH = 2HK`

Có : `HI = 1/3 AH` (giả thiết)

mà `AH=2HK` (chứng minh trên)

`-> HI = 1/3 . 2 HK`

`-> HI = 2/3 HK`

`-> (HI)/(HK) = 2/3`

Xét `ΔHDE` có :

`(HI)/(HK) = 2/3`

`HK` là đường trung tuyến

`-> I` là trọng tâm của `ΔHDE`

$\\$

$\\$

$e,$

Xét `ΔAHC` vuông tại `H` có :

`HD` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `AC`

`-> HD = 1/2 AC`

mà `AB = AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> HD = 1/2 AB`

Do `E` là trung điểm của `AB`

`-> BE = 1/2 AB`

mà `HD = 1/2 AB` (chứng minh trên)

`-> HD = BE (= 1/2 AB)`

Do `D` là trung điểm của `AC`

`-> DC = 1/2 AC`

mà `HD = 1/2 AC` (chứng minh trên)

`-> DC = HD (= 1/2 AC)`

`-> ΔHDC` cân tại `D`

`-> hat{DHC} = hat{C}`

mà `hat{B} = hat{C}` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> hat{B} = hat{DHC} (= hat{C})`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ BE//HD$

`-> hat{BEH} = hat{DHE}` (2 góc so le trong)

Xét `ΔBEH` và `ΔDHE` có :

`hat{BEH} = hat{DHE}` (chứng minh trên)

`EH` chung

`BE = HD` (chứng minh trên)

`-> ΔBEH = ΔDHE` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{EBH} = hat{EHD}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{ABC} = hat{EHD}`

Do `D` là trung điểm của `AC`

`-> AD = 1/2 AC`

mà `HD = 1/2 AC`

`-> AD = HD (= 1/2 AC)`

Xét `ΔAED` và `ΔHED` có :

`AE = HE` (chứng minh trên)

`ED` chung

`AD=  HD` (chứng minh trên)

`-> ΔAED = ΔHED` (cạnh - cạnh - cạnh)

`-> hat{A} = hat{EHD}` (2 góc tương ứng)

Có : `AB > BC` (giả thiết)

`-> AC > BC`

Xét `ΔABC` có :

`AC > BC`

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`hat{ABC} > hat{A}`

mà `hat{ABC} = hat{EDH}, hat{A} = hat{EHD}`

`-> hat{EDH} > hat{EHD}`

`\text{a)}`

Xét `\Delta ABH` vuông tại `H` và `\Delta ACH` vuông tại `H` có :

`AB = AC`

`AH` _ cạnh chung

`-> \Delta ABH = \Delta ACH  ( \text{ ch - cgv } )`

`-> HB = HC` ( `2` cạnh tương ứng )

`\text{b)}`

Ta có :

`AH ∩ BC = {H}`

`HB = HC ( \text{cmt} )`

`-> AH` là đương trung tuyến xuất phát từ `A`

`HI = 1/3AH`

`-> H` là trọng tâm của `\Delta ABC`

Ta có :

`CE ∩ AH = {I} `

`-> CE` là đương trung tuyến xuất phát từ `C`

`-> E` là trung điểm của `AB`

`BD ∩ AH = {I}`

`-> BD` là đương trung tuyến xuất phát từ `B`

`-> D` là trung điểm của `AC` 

`\text{c)}`

 Gọi `AK ∩ ED = {K}`  

Ta có :

`AB = AC ( \text{gt} )`

`-> {AB}/2 = {AC}/2`

`-> AE = AD`

`\Delta ABH = \Delta ACH  ( \text{ cmt } )`

`-> \hat{BAH} = \hat{CAH}` ( `2` góc tương ứng )

Xét `\Delta AEK` và `\Delta ADK` có :

`AE = AD`

`\hat{EAK} = \hat{KAD} ( \text{cmt} )`

`AK` _ cạnh chung

`-> \Delta AEK = \Delta ADK ( \text{ c . g . c } )` 

`->  EK = DK` `(1)` 

`-> \hat{AKE} = \hat{AKD}`

Mà `\hat{AKE} + \hat{AKD} =180^o` ( `2` góc kề bù )

`-> AK ⊥ ED` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`->AH` là trung trực của `ED` 

Hay `ED` là trung trực của `AH`

`\text{d)}`      

 Ta có :

`HE` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền  `AB` 

`-> HE = {AB}/2`

`-> HE =   AE`

`-> \Delta AEH` cân tại `E`

Do `EK` là đường cao xuất phát từ `E` `-> EK` là đường trung tuyến xuất phát từ `E`

`-> AH = 2HK`

Ta có :

`HI = 1/3AH`

`-> HI = 2 . 1/3 AH`

`-> HI = 2/3 AH`

`-> HK` là đường trung tuyến xuất phát từ `H`

`-> I` là trọng tâm của `\Delta HDE`

`\text{e)}`    

Nhận thấy : 

`HE = BE ( = {AB}/2 )` 

`HD = DC ( = {AC}/2 ) -> \hat{ DHC} = \hat{DCH}`

Ta có :

`\hat{DCH} = \hat{ABC}`

`-> \hat{DHC} = \hat{ABC}`

Mà đây là `2` góc đồng vị

`-> BE \text{ // } HD`

`-> \hat{BEH} = \hat{EHD}` ( `2` góc so le trong )

 Xét `\Delta BEH` và `\Delta DHE` có :

`BE = HD ( \text{cmt} )`

`\hat{AEH} = \hat{EHD} ( \text{ cmt } )`

`EH` _  cạnh chung

`-> \Delta BEH = \Delta DHE ( \text{ c . g .c } )`

`-> \hat{ABC} = \hat{EHD}` ( `2` cạnh tương ứng ) 

Xét `\Delta AED` và `\Delta HDE` có :

`AD = HD ( \text{cmt} )`

`ED` _ chung cạnh

`AE = HE ( \text{cmt} )`

`-> \Delta AED = \Delta HED ( \text{ c . c . c } )`

`-> \hat{DAE} = \hat{EHD}` ( `2` góc tương ứng )

Vì `AB > BC`

`-> AB = AC > BC -> AC > BC`

`-> \hat{ABC} > \hat{BAC}`

`-> \hat{EDH} > \hat{EHD}`