Lời giải:

a) Áp dụng định lý Pytago ta được:

$\quad BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2}$

$\Rightarrow AC = 8\ cm$

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được:

$\quad \dfrac{IA}{IC} = \dfrac{AB}{BC}$

$\Leftrightarrow \dfrac{IA}{AC - IA} = \dfrac{AB}{BC}$

$\Leftrightarrow IA = \dfrac{AB.AC}{AB + BC} = \dfrac{6.8}{6+10} = 3\ cm$

$\Rightarrow IC = AC - IA = 8 - 3 = 5\ cm$

b) Xét $\triangle EAC$ và $\triangle EDB$ có:

$\begin{cases}\widehat{E}:\ \text{góc chung}\\\widehat{A} = \widehat{D} = 90^\circ\end{cases}$

Do đó $\triangle EAC\backsim \triangle EDB\ (g.g)$

c) Xét $\triangle ABH$ và $\triangle CBA$ có:

$\begin{cases}\widehat{B}:\ \text{góc chung}\\\widehat{H} = \widehat{A} = 90^\circ\end{cases}$

Do đó $\triangle ABH\backsim \triangle CBA\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BH}{AB}$

$\Rightarrow AB^2 = BH.BC$

Xét $\triangle ABH$ và $\triangle CAH$ có:

$\begin{cases}\widehat{AHB} = \widehat{AHC} = 90^\circ\\\widehat{HAB} = \widehat{HCB}\quad \text{(cùng phụ $\widehat{HAC}$)}\end{cases}$

Do đó $\triangle ABH\backsim \triangle CAH\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AH}{HC} = \dfrac{HB}{AH}$

$\Rightarrow \begin{cases}\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AH}{HC}\\AH^2 = HB.HC\end{cases}$

$\Rightarrow \left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2 = \left(\dfrac{AH}{HC}\right)^2 = \dfrac{AH^2}{AC^2}$

$\Rightarrow \left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2 = \dfrac{HB.HC}{HC^2} = \dfrac{HB}{HC}$

d) Xét $\triangle BEC$ có:

$BD$ là đường cao ứng với cạnh $EC\quad (BD\perp CE)$

$BD$ là phân giác $\widehat{ABC}\quad (gt)$

Do đó $\triangle BEC$ cân tại $B$

$\Rightarrow BD$ là trung tuyến ứng với cạnh $EC$

$\Rightarrow DE = DC = \dfrac12EC$

Xét $\triangle ACE$ có:

$\begin{cases}DE = DC = \dfrac12EC\quad (cmt)\\DF//AC\quad (\perp AE)\end{cases}$

$\Rightarrow DF = \dfrac12AC$

Mặt khác, do $DF//AC$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\quad \dfrac{OD}{OA} = \dfrac{OF}{OC} = \dfrac{DF}{AC} = \dfrac12$

$\Rightarrow \triangle OFD\backsim \triangle OCA$

$\Rightarrow \dfrac{S_{OFD}}{S_{OCA}} = \left(\dfrac{DF}{AC}\right)^2 = \dfrac14$

$\Rightarrow S_{OFD} = \dfrac14S_{OCA}$