Đáp án:

\(\left[ \begin{array}{l}
m =  - 1 + 4\sqrt 2 \\
m =  - 1 - 4\sqrt 2 
\end{array} \right.\)

Giải thích các bước giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là

\(\begin{array}{l}
\dfrac{1}{2}{x^2} = x + \dfrac{1}{2}{m^2} + m + 1\\
 \to {x^2} - 2x - {m^2} - 2m - 1 = 0\left( 1 \right)
\end{array}\)

 Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt 

⇒ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l}
 \to \Delta ' > 0\\
 \to 1 + {m^2} + 2m + 1 > 0\\
 \to {\left( {m + 1} \right)^2} + 1 > 0\left( {ld} \right)\forall x\\
Vi - et:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2\\
{x_1}{x_2} =  - {m^2} - 2m - 1
\end{array} \right.\\
{x_1}^2 + {x_2}^2 = 68\\
 \to {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} = 68\\
 \to {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 68\\
 \to 4 - 2\left( { - {m^2} - 2m - 1} \right) = 68\\
 \to 2{m^2} + 4m - 62 = 0\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
m =  - 1 + 4\sqrt 2 \\
m =  - 1 - 4\sqrt 2 
\end{array} \right.
\end{array}\)