a.

Vì `O` là giao điểm của 3 trung trực 2 cạnh tam giác `ABC`

`⇒OA=OB=OC`

Xét `ΔAOB` và `ΔAOC` có:

$\left.\begin{matrix}AB=AC \text{ (ΔABC cân)}\\OC=OC (cmt)\\AO \text{ chung}\end{matrix}\right\}$ `⇒ΔΔAOB=ΔAOC(c.c.c)`

$⇒\widehat{OAB}=\widehat{OAC}$ (2 góc tương ứng) `(1)`

Mà `ΔOAC` cân (`OA=OC`)

$⇒\widehat{OAC}=\widehat{OCA}$ `(2)`

Từ `(1),(2)⇒` $\widehat{OAB}=\widehat{OCA}$ `(đpcm)`

b.

Ta có:

$\widehat{OAM}=\widehat{MAB}-\widehat{OAB}$

$\widehat{OCN}=\widehat{ACN}-\widehat{OCA}$

Mà $\widehat{MAB}=\widehat{ACN}=180^o$ và $\widehat{OAB}=\widehat{OCA}(cmt)$

$⇒\widehat{OAM}=\widehat{OCN}$

Xét `ΔAOM` và `ΔCON` có:

$\left.\begin{matrix}OA=ON(cmt)\\\widehat{OAM}=\widehat{OCN}(cmt)\\AM=CN (gt)\end{matrix}\right\}$ `⇒ΔAOM=ΔCON(c.c.c)`

c.

Gọi `K` là giao điểm của `OM` và đường trung trực của nó.

Gọi `H` là giao điểm của `ON` và đường trung trực của nó.

Vì `ΔAOM=ΔCON⇒OM=ON`

Vì `KI` là đường trung tuyến của `OM` `⇒OK=OM` 

Vì `HI` là đường trung tuyến của `ON` `⇒OH=ON` 

Mà `OM=ON(cmt)⇒OK=OH`

Xét `ΔOKI` và `ΔOHI` có:

$\left.\begin{matrix}OM=ON(cmt)\\\widehat{OKI}=\widehat{OHI}=90^o\\OK=OH (cmt)\end{matrix}\right\}$ `⇒ΔOKI=ΔOHI(ch-cgv)`

$⇒\widehat{KOI}=\widehat{HOI}$

`⇒OI` là phân giác của $\widehat{MON}$ `(đpcm)`

Giải thích các bước giải:

`a)`
Ta có:
`ΔABC` cân mà có `O` là giao điểm của `2` đường trung trực tương ứng với `2` cạnh của tam giác
`=>` Đường trung trực còn lại phải đi qua `O`
`=>` `AO` là đường trung trực của `ΔABC`
`=>AO` đồng thời là đường phân giác
Xét `ΔBAO` và `ΔCAO` có:
`hat{BAO}=hat{CAO}(text{AO đồng thời là đường phân giác})`
`AO:text{cạnh chung}`
`AB=AC(ΔABC` cân tại `A`)
`=>ΔBAO=ΔCAO(c-g-c)`
`=>hat{OAB}=hat{OAC}(text{2 góc tương ứng})`
Lại có:
Giao của `3` đường trung trực thì cách đều `3` đỉnh của tam giác đó:
`=>OA=OB=OC`
Trong `ΔOAC` có `OA=OC(c.m.t)`
`=>ΔOAC` cân tại `O`
`=>hat{OAC}=hat{OCA}`
Ta có:
`{(hat{OAB}=hat{OAC}(c.m.t)),(hat{OAC}=hat{OCA}(c.m.t)):}`
Theo tính chất bắc cầu
`=>hat{OAB}=hat{OCA}(text{điều phải chứng minh})`
`b)`
Ta có:
`hat{BAM}=hat{ACN}=180^o`
`hat{BAO}=hat{ACO}(c.m.t)`
`=>hat{BAM}-hat{BAO}=hat{ACN}-hat{ACO}`
`=>hat{MAO}=hat{NCO}`
Xét `ΔOAM` và `ΔOCN` ta có:
`hat{OAM}=hat{OCN}(c.m.t)`
`OA=OC(text{theo phần a})`
`AM=CN(text{gt})`
`=>ΔAOM=ΔCON(c-g-c)(text{điều phải chứng minh})`
`c)`
Gọi đường trung trực trên đoạn thẳng `OM` cắt `OM` tại `T`
Gọi đường trung trực trên đoạn thẳng `ON` cắt `ON` tại `X`
`ΔAOM=ΔCON(text{theo phần b})`
`=>OM=ON(text{2 cạnh tương ứng})`
Mà `IT` là đường trung trực của `OM`
`=>MT=TO(1)`
`IX` là đường trung trực của `ON`
`NX=XO(2)`
Từ `1` và `2`
`=>MT=TO=NX=XO`
`=>TO=XO`
Xét `ΔTIO(hat{ITO}=90^o)` và `ΔXIO(hat{IXO}=90^o)` ta có:
`TO=XO(c.m.t)`
`OI:text{cạnh chung}`
`=>ΔTIO=ΔXIO(text{cạnh huyền - cạnh góc vuông})`
`=>hat{TOI}=hat{XOI}(text{hai góc tương ứng})`
`=>OI` là tia phân giác của `hat{TOX}` hay `OI` là tia phân giác của `hat{MON}`