Ta có $n$ chia 7 dư 3 nên $n-3$ hết cho 7. Suy ra $2(n-3)$ chia hết cho 7

$\Rightarrow 2n + 1 - 7 \vdots 7$ nên $2n+1$ chia hết cho 7.

$n$ chia cho 9 dư 4 nên $n-4$ chia hết cho 9. Suy ra $2(n-4)$ chia hết cho 9.

$ \Rightarrow 2n + 1 - 9 \vdots 8$ nên $2n+1$ chia hết cho 9

$n$ chia cho 11 dư 5 nên $n-5$ chia hết cho 11. Suy ra $2(n-5)$ chia hết cho 11.

$ \Rightarrow 2n + 1 - 11 +  \vdots 11$ nên $2n+1$ chia hết cho 11.

$n$ chia cho 13 dư 6 nên $n-6$ chia hết cho 13. Suy ra $2(n-6)$ chia hết cho 13.

$ \Rightarrow 2n + 1 - 13 +  \vdots 13$ nên $2n+1$ chia hết cho 13.

$\begin{array}{l}  \Rightarrow 2n + 1 \in BC\left( {7,9,11,13} \right)\\ n\min  \Rightarrow 2n + 1\min \\  \Rightarrow 2n + 1 = BCNN\left( {7,9,11,13} \right) = 7.9.11.13 = 9009\\  \Rightarrow 2n + 1 = 9009 \Rightarrow n = 4504 \end{array}$