Đáp án: Hình bạn tự vẽ nhé

a, Xét ΔAHB và ΔDEB có :

          ∠AHB = ∠DEB (=90 độ)

          ∠B :góc chung

  ⇒ ΔAHB ~ΔDEB (g.g)

  ⇒ $\frac{AB}{DB}$ = $\frac{AH}{DE}$   

  ⇒ AB.DE=DB.AH  (1)

  Xét ΔAHC và ΔDFC có:

      ∠AHC = ∠DFC  (=90 độ)

      ∠ C : góc chung

⇒ ΔAHC~ΔDFC (g.g)

⇒$\frac{AC}{DC}$ = $\frac{AH}{DF}$   

⇒ AC.DF=DC.AH  (2)

b, Vì AD là đường trung tuyến trong ΔABC (gt) nên DB=DC = 1/2.BC

                                                                      ⇒ DB.AH=DC.AH (3)

   Từ (1) , (2) và (3) ⇒ AB.DE=AC.DF

                            ⇒ $\frac{DE}{DF}$ = $\frac{AC}{AB}$ 

c,   Từ (1) và (2) , cộng vế với vế ta được :

                           AB.DE+AC.DF=DB.AH+DC.AH

                                                = AH.(DB+DC)

                                                = BC.AH  (Vì DB +DC=BC )

Giải thích các bước giải:

a) Xét \(ΔBHA\) và \(ΔBED\):

\(\widehat B:chung\)

\(\widehat{BHA}=\widehat{BED}(=90^\circ)\)

\(→ΔBHA\backsim ΔBED(g-g)\)

\(→\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{DE}{DB}\)

\(↔AH.DE=AB.DB\)

Xét \(ΔCFD\) và \(ΔCHA\):

\(\widehat C:chung\)

\(\widehat{CFD}=\widehat{CHA}(=90^\circ)\)

\(→ΔCFD\backsim ΔCHA(g-g)\)

\(→\dfrac{DF}{DC}=\dfrac{AH}{AC}\)

\(↔DF.AC=DC.AH\)

b) \(D\) là trung điểm \(BC\)

\(→DB=DC\)

\(→DB.AH=DC.AH\) 

mà \(AB.DE=DB.AH,AC.DF=DC.AH\)

\(→AB.DE=AC.DF\)

\(↔\dfrac{DE}{DF}=\dfrac{AC}{AB}\)

c) \(AB.DE=DB.AH\)

\(AC.DF=DC.AH\)

\(→AB.DE=AC.DF=DB.AH+DC.AH=AH(DB+DC)=AH.BC\)

\(→\) ĐPCM