Đáp án:

`a,`

Xét `ΔACE` và `ΔAKE` có :

`hat{ACE} = hat{AKE} = 90^o`

`AE` chung

`hat{CAE} = hat{KAE}` (giả thiết)

`-> ΔACE= ΔAKE` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> AC = AK` (2 cạnh tương ứng)

`-> A` nằm trên đường trung trực của `CK` `(1)`

Do `ΔACE= ΔAKE` (chứng minh trên)

`-> CE = KE` (2 cạnh tương ứng)

`-> E` nằm trên đường trung trực của `CK` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> AE` là đường trung trực của `CK`

`-> AE⊥CK`

$\\$

$\\$

$b,$

Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔABC` có :

`hat{A} + hat{B} + hat{C} = 180^o`

`-> hat{B} = 180^o - 90^o - 60^o`

`-> hat{B} = 30^o`

Xét `ΔABC` vuông tại `C` có :

`hat{B} = 30^o`

Áp dụng tính chất trong 1 `Δ` vuông, cạnh đối diện với góc `30^o` sẽ bằng `1/2` cạnh huyền 

`-> AC = 1/2 AB`

`-> AB = 2 AC`

$\\$

$\\$

$c,$

Do `AE` là tia phân giác của `hat{A}`

`-> hat{EAB} =1/2 hat{A} = 1/2 . 60^o`

`-> hat{EAB} = 30^o`

Có : `hat{B} = 30^o, hat{EAB} = 30^o`

`-> hat{B} = hat{EAB} = 30^o`

`-> ΔAEB` cân tại `E`

`-> AE =EB`

Xét `ΔACE` có :

`hat{ACE}  = 90^o`

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`AE` là cạnh lớn nhất

`-> AE > AC`

mà `AE = EB` (chứng minh trên)

`-> EB > AC`

$\\$

$\\$

$d,$

Gọi `H` là giao của `BD` và `AC` `(3)`

Có : `AD⊥BH`

`-> AD` là đường cao của `ΔHBA`

Có : `HK⊥BA`

`-> HK` là đường cao của `ΔHBA`

Có : `BC⊥HA`

`-> BC` là đường cao của `ΔHBA`

Xét `ΔHBA` có :

`AD` là đường cao

`BC` là đường cao

`AD` cắt `BC` tại `E`

`-> E` là trực tâm của `ΔHBA`

mà `HK` là đường cao của `ΔHBA`

`-> EK` đi qua `H` `(4)`

Từ `(3), (4)`

`-> AC,EK,BD` đồng quy tại `H`

Đáp án:

 Xét ΔACE và ΔAKE có:

`hat{ECA}` = `hat{ EKA}` = 90°

EA : cạnh chung

`hat{ CAE}` = `hat{KAE}` ( AE là tia phân giác góc A)

⇒ ΔACE = ΔAKE ( cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ AC = AK ( 2 cạnh tương ứng) ( đpcm)

⇒ A nằm trong đường trung trực KC       (1)

⇒ EK = CE ( 2 cạnh tương ứng)

⇒ E nằm trong đường trung trực KC        (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE là đường trung trực của KC

Hay AE ⊥ KC ( đpcm)

b, ΔABC có : `hat{A}` + `hat{ B}` = 90° ( 2 góc nhọn phụ nhau trong Δ vuông)

                                    `hat{ B}`  = 90° - `hat{ A}` = 90° - 60° = 30°

Áp dụng tính chất trong 1 tam giác vuông, góc 30° bằng `1/2` cạnh huyền

⇒ AC = `1/2`AB 

⇒ AB = 2AC (đpcm)

c,Ta có : `hat{ EAB}` = 30° ( AE là tia phân giác góc A nên `hat{ EAB}` = `1/2hat{A}` )
⇒ `hat{ EAB}` = `hat{ B}` ( = 30°)

⇒ ΔEBA cân tại E

⇒ EA = EB 

Vì ΔACE có `hat{ACE}` lớn nhất nên EA là cạnh lớn nhất

⇒ EA > AC
Hay EB > AC ( đpcm)

d, Gọi H là giao điểm của BD và AC (3)

Ta có:

AD ⊥ BH → AD là đường cao của ΔHBA

HK ⊥ BA → HK là đường cao của Δ HBA

BC ⊥ HA → BC là đường cao của ΔHBA

Mà ΔHBA có : 

AD là đường cao ( c/m trên)

BC là đường cao (c/m trên)

AD ∩ BC = {E} (c/m trên)

⇒ E là trực tâm của ΔHBA

Mà HK là đường cao của ΔHBA ( c/m trên)

⇒ E đi qua HK (4)

Từ (3) và (4) suy ra AC,EK,BD là ba đường đồng quy (đpcm)