Đáp án+Giải thích các bước giải:

 `a) ΔABC` cân tại `A` có `AH` là đường cao ứng với cạnh `BC`

            `=> AH` đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh `BC`

                      mà `AI= 2/3AH`

              `=> I` là trọng tâm của `ΔABC`

         mà `BI` cắt `AC` tại `M`

               `CI` cắt `AB` tại `N`

         `=> M` là trung điểm của `AC`

               `N` là trung điểm của `AB`

       `=> MN` là đường trung bình của `ΔABC`

            `=> MN //// BC`

  Xét `ΔBIC` và `ΔMIN` có:

         `MN////BC`

     `=> ΔBIC ~ ΔMIN`

Ta có: `BM` là đường trung tuyến ứng với cạnh `AC`

             mà `I` là trọng tâm

            `=> (BI)/(MI)=2/1=2`

`ΔIKM` và `ΔIHB` có: `KM ////BH(MN////BC, K∈MN, H∈BC)`

       `=> (IH)/(IK)=(BI)/(MI)` (Hệ quả Talet)

       mà `(BI)/(MI)=2`

          `=> (IH)/(IK)=2`

`b)`Ta có: `MN` là đường trung bình của `ΔABC`

        `=> 2MN=BC`

     `S_(AHC)=(S_(ABC))/2=S/2`(chung đường cao hạ từ `A`, `CH=1/2BC`)

           mà `S_(IHC)=1/3S_(AHC)`

        `=> S_(IHC)=1/3.S/2=S/6`

           mà `S_(IHC)=1/2S_(IBC)`

         `=> S_(IBC)=S/6 .2=S/(3)`

Ta có: `(S_(MNI))/(S_(IBC))=(1/2 . IK.MN)/(1/2 .IH.BC)=(IK.MN)/(IH.BC)=(IK.MN)/(2IK.2MN)=1/4`

     mà `S_(IBC)=S/3`

        `=> S_(MNI)=S/(12)`