a. Thay `m=1` vào phương trình `(1)` ta được:

`x^2-2(1+1)x+1^2+2=0`

`⇔x^2-4x+3=0`

Ta có: `Δ'=(-2)^2-3=4-3=1>0⇒\sqrt{Δ}=1`

`x_1=2+1=3`

`x_2=2-1=1`

Vậy khi `m=1` thì phương trình `(1)` có nghiệm `S={3;1}`

b. Ta có: `Δ'=[-(m+1)]^2-m^2-2=m^2+2m+1-m^2-2=2m-1`

Để phương trình có `2` nghiệm phân biệt `x_1, x_2` thì `Δ'>0`

`⇔2m-1>0`
`⇔m>1/2`

Theo hệ thức Viet ta có: $\left \{ {{x_1 +x_2=2(m+1)\ (1)} \atop {x_1x_2=m^2+2\ (2)}} \right.$ 

Vì `x_2` là nghiệm của phương trình `(1)`

`⇒x_2^2-2(m+1)x_2+m^2+2=0`

`⇔2(m+1)x_2=x_2^2+m^2+2` `(3)`

Thay `(3)` vào  `x_1^2+2(m+1)x_2=12m+2` ta được: 

`x_1^2+x2^2+m^2+2=12m+2`

`⇔(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+m^2+2-12m-2=0` `(4)`

Thay `(1), (2)` vào `(4)` ta được:

`[2(m+1)]^2-2(m^2+2)+m^2+2-12m-2=0`

`⇔4m^2+8m+4-2m^2-4+m^2+2-12m-2=0`

`⇔3m^2-4m=0`

`⇔m(3m-4)=0`

`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}x=0\\3m-4=0\end{array} \right.\) `⇔` \(\left[ \begin{array}{l}x=0\ (không\ tm)\\m=4/3\ (tm)\end{array} \right.\) 

Vậy `m=4/3` là giá trị cần tìm.

a, Thay m=1 vào phương  trình (1) a có:

x^2-4x+3=0

Δ'=(-2)^2-3=1 >0

=> phương trình có hai nghiệm phân biệt 

x1=3;x2=1

Vậy với m = 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=3;x2=1

b, x^2-2(m+1)+m^2+2=0

Δ' = (m+1)^2 -m^2 - 2

    = m^2+2m+1-m^2-2

    = 2m -1

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 thì Δ' > 0

=> 2m-1 > 0

=> m>$\frac{1}{2}$ 

Theo Vi-et ta có : $\left \{ {{x1+x2=2(m+1)(1)} \atop {x1x2=m^2+2(2)}} \right.$ 

Vì x2 là nghiệm của phương trình 1 

<=> x2^2-2(m+1)x2+m^2+2=0

<=> x2^2+m^2+3=2(m+1)x2(3)

Thay 3 vào  x1^2+2(m+1)x2=12m+2 ta có :

(x1+x2)^2-2x1x2+m^2-12m-2=0

<=>[2(m+1)]2-2(m^2+2)+m^2+2-12m -2=0

<=>3m^2-4m=0

<=> m(3m-4)=0

$\left \{ {{m=0}(loại) \atop {m=\frac{4}{3}}(tm)} \right.$ 

Vậy m = $\frac{4}{3}$  để thỏa mãn đề bài