Giải thích các bước giải:

$a)$Xét $\Delta MEN$ và $\Delta MFQ$

$\widehat{NMQ}:$ chung

$\widehat{MEN}=\widehat{MFQ}=90^o\\ \Rightarrow \Delta MEN \backsim \Delta MFQ\\ b)\Delta MEN \backsim \Delta MFQ\\ \Rightarrow \dfrac{ME}{MF}= \dfrac{MN}{MQ}\\ \Leftrightarrow \dfrac{ME}{MN}= \dfrac{MF}{MQ}$

Xét $\Delta MEF$ và $\Delta MNQ$

$\widehat{NMQ}:$ chung

$\dfrac{ME}{MN}= \dfrac{MF}{MQ}\\ \Rightarrow \Delta MEF \backsim \Delta MNQ\\ \Rightarrow \widehat{MEF}= \widehat{MNQ}$

$c)A$ là trung điểm $MQ$

$\Delta MFQ vuông$, trung tuyến $FA$ ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền

$\Rightarrow FA=MA=QA$

$\Delta MFA$ cân tại $A$ có $\widehat{FMA}=60^o$

$\Rightarrow \Delta MFA$ đều

$\Rightarrow FM=MA=\dfrac{1}{2}MQ$

Tỉ số diện tích bằng bình phương tủ số đồng dạng

$\Rightarrow \dfrac{S_{MEF}}{S_{MNQ}}=\left(\dfrac{MF}{MQ}\right)^2=\dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow S_{MEF}=30cm^2$

$d)\Delta NFQ$ vuông tại $F$, trung tuyến $FI$ ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền

$\Rightarrow FI=\dfrac{1}{2}NQ\\ CMTT: EI=\dfrac{1}{2}NQ\\ \Rightarrow FI =EI$

$\Rightarrow \Delta FEI$ cân tại $I$

Mà $IK$ là trung tuyến

$\Rightarrow IK$ đồng thời là đường cao

$\Leftrightarrow IK \perp EF$

a/ Xét $ΔMEN$ và $ΔMFQ$:

$\widehat M:chung$

$\widehat{MEN}=\widehat{MFQ}(=90^\circ)$

$→ΔMEN\backsim ΔMFQ(g-g)$

b/ $ΔMEN\backsim ΔMFQ$

$→\dfrac{ME}{MN}=\dfrac{MF}{MQ}$

$↔\dfrac{ME}{MF}=\dfrac{MN}{MQ}$

Xét $ΔMEF$ và $ΔMNQ$:

$\dfrac{ME}{MF}=\dfrac{MN}{MQ}(cmt)$

$\widehat M:chung$

$→ΔMEF\backsim ΔMNQ(c-g-c)$

$→\widehat{MEF}=\widehat{MNQ}$

c/ Ta sẽ đi chứng minh định lý sau: Cạnh đối diện với góc 30 độ trong tam giác thì bằng một nửa cạnh huyền

Giả sử: $ΔABC$ vuông tại $A$ có $\widehat B=30^\circ$

$→\widehat B=60^\circ$

Kẻ trung tuyến $AM$ ứng $BC$

$→AM=\dfrac{BC}{2}=MB=MC$

$→ΔMAC$ cân tại $M$ mà $\widehat C=60^\circ$

$→ΔΔMAC$ đều

$→AC=MC=\dfrac{BC}{2}$

Xét $ΔMNE$:

$\widehat M=60^\circ→\widehat{MNE}=30^\circ$

Áp dụng định lý trên vào $ΔMNE$

$→\dfrac{ME}{MN}=\dfrac{1}{2}$

$ΔMEF\backsim ΔMNQ$

$→\dfrac{ME}{EF}=\dfrac{MN}{NQ}$

$↔\dfrac{ME}{MN}=\dfrac{EF}{NQ}=\dfrac{1}{2}$

$→\dfrac{S_{ΔMEF}}{S_{ΔMNQ}}=\dfrac{1}{4}$ hay $\dfrac{S_{ΔMEF}}{120}=\dfrac{1}{4}$

$↔S_{ΔMEF}=30cm^2$

d/ Xét $ΔNEQ$ vuông tại $E$

$EI$ là đường trung tuyến ứng $NQ$ ($I$ là trung điểm $NQ$)

$→EI=\dfrac{NQ}{2}$ (1)

Xét $ΔQFN$ vuông tại $F$:

$FI$ là đường trung tuyến ứng $NQ$ ($I$ là trung điểm $NQ$)

$→FI=\dfrac{NQ}{2}$ (2)

(1)(2) $→EI=FI$

$→ΔFEI$ cân tại $I$

mà $IK$ là trung tuyến ứng $FE$ ($K$ là trung điểm $FE$)

$→IK$ là đường cao $FE$ hay $IK⊥FE$