Giải thích các bước giải:

$a)\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^o\\ \widehat{BAH}+\widehat{CAI}=90^o\\ \Rightarrow \widehat{ABH}=\widehat{CAI}$

$b)$Xét $\Delta AHB$ và $\Delta CIA$

$\widehat{AHB}=\widehat{CIA}=90^o\\ AB=AC\\ \widehat{ABH}=\widehat{CAI}\\ \Rightarrow \Delta AHB = \Delta CIA\\ \Rightarrow AH=CI$

$c)\Delta ABC$ vuông cân tại $A, AM$ là trung tuyến

$\Rightarrow AM$ đồng thời là đường cao, phân giác

$\Rightarrow AM \perp BC$

$\Delta ABD,$ đường cao $BH, AM$ cắt nhau tại $K$

$\Rightarrow K$ là trực tâm $\Delta ABD$

$\Rightarrow DK \perp AB\\ d)AH^2+AI^2\\ =CI^2+AI^2$

$=AC^2(\Delta AIC$ vuông tại $I)(1)$

$\Delta ABC$ vuông cân

$\Rightarrow \widehat{ABC}=45^o\\ \widehat{BAM}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}=45^o$

$\Rightarrow ABM$ vuông cân tại $M$

$\Rightarrow BM^2+AM^2=AB^2\\ \Leftrightarrow BM^2+CM^2=AB^2(AM=BM=CM)(2)\\ (1);(2);AB=AC \Rightarrow AH^2+AI^2=BM^2+CM^2$