Đáp án:

$S≈4,5$ $(cm^2)$

Giải thích các bước giải:

Ta có: $AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}$ $(cm)$

$⇒ S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$ $(cm^2)$

Có $BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$ $(cm)$

Diện tích nửa hình tròn $(H; BH)$ là:

$S_{1}=\dfrac{3,14.BH^2}{2}=\dfrac{3,14.9}{4.2}=3,5325$ $(cm^2)$

Gọi $E$ là giao điểm của đường tròn $(H; BH)$ với $AB$ $(E \neq B)$

Ta có: $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}=\cos60^0$

$⇒ \widehat{ABC}=60^0$

$ΔBHE$ cân tại $H$ có $\widehat{EBH}=60^0$

$⇒ ΔBHE$ đều

$⇒ \widehat{EHB}=60^0$

Diện tích hình quạt $BHE$:

$S_{2}=\dfrac{3,14.BH^2.60}{360}=\dfrac{3,14.\dfrac{9}{4}}{6}=1,1775$ $(cm^2)$

Diện tích $ΔBHE$ đều:

$S_{3}=BH^2.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{9}{4}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{9\sqrt{3}}{16}$ $(cm^2)$

Diện tích phần nửa hình tròn không nằm trong $ΔABC$:

$S_{4}=S_{2}-S_{3}=1,1775-\dfrac{9\sqrt{3}}{16}≈0,203$ $(cm^2)$

Diện tích phần nửa hình tròn nằm trong $ΔABC$:

$S_{5}=S_{1}-S_{4}≈3,5325-0,203=3,3295$ $(cm^2)$

Diện tích cần tìm:

$S=S_{ABC}-S_{5}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}-3,3295≈4,5$ $(cm^2)$