Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a/ Vì $E$ là trung điểm $MN$ nên $OE ⊥ MN$

Hay $\widehat{OEA}=90^0$

Ta có: $\widehat{OEA}=\widehat{OBA}=90^0$

$⇒ OEBA$ là tứ giác nội tiếp

Hay $O, E, B, A$ cùng thuộc $1$ đường tròn tâm là trung điểm $OA$

b/ Xét $ΔACN$ và $ΔAMC$

Có: $\widehat{CAN}$ chung

$\widehat{ANC}=\widehat{ACM}$ (cùng chắn cung $MC$)

$⇒ ΔACN \backsim ΔAMC$

$⇒ \dfrac{AC}{AM}=\dfrac{AN}{AC}$

$⇒ AC^2=AM.AN$

c/ Có: $\widehat{MIB}+\widehat{MKB}=180^0$

$⇒ MIBK$ là tứ giác nội tiếp

Tương tự: $MJCK$ là tứ giác nội tiếp

$\widehat{PKQ}=\widehat{PKM}+\widehat{QKM}$

$=\widehat{IBM}+\widehat{JCM}$

$=\widehat{BCM}+\widehat{CBM}$

Mà $\widehat{BCM}+\widehat{CMB}+\widehat{PMQ}=180^0$

nên $\widehat{PKQ}+\widehat{PMQ}=180^0$

$⇒ MPKQ$ là tứ giác nội tiếp

$⇒ \widehat{MPQ}=\widehat{MKQ}=\widehat{MCJ}=\widehat{MBC}$

hay $\widehat{MPQ}=\widehat{MBC}$

và ở vị trí đồng vị

$⇒ PQ // BC$

c/ Ta có: $\widehat{MKI}=\widehat{MBI}=\widehat{MCB}=\widehat{MJK}$

Tương tự: $\widehat{MIK}=\widehat{MBK}=\widehat{MCJ}=\widehat{MKJ}$

Xét $ΔMIK$ và $ΔMKJ$

Có: $\widehat{MKI}=\widehat{MJK}$ (cmt)

$\widehat{MIK}=\widehat{MKJ}$ (cmt)

$⇒ ΔMIK \backsim ΔMKJ$

$⇒ \dfrac{MI}{MK}=\dfrac{MK}{MJ}$

$⇒ MI.MJ=MK^2$

Để $MI.MJ$ đạt giá trị lớn nhất thì $MK$ lớn nhất

$MK$ lớn nhất khi $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ cố định

Vậy $MI.MJ$ đạt giá trị lớn nhất khi $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$