). Trong không gian vector 3 ℝ cho hai hệ vector U u m u u = { 1 2 3 = − = = ( 2,2,5); (2,1,3); (3,1,3)} , V v m v m v = − −= { 1 2 3 = = ( ( 1,2,1); ,2,1); (
). Trong không gian vector 3 ℝ cho hai hệ vector U u m u u = { 1 2 3 = − = = ( 2,2,5); (2,1,3); (3,1,3)} , V v m v m v = − −= { 1 2 3 = = ( ( 1,2,1); ,2,1); ( 1,7,4)} . a. Chứng tỏ U , V là hai cơ sở của 3 ℝ . b. Cho x m = − ( ,2, 3), tìm tọa độ của x theo cơ sở V . c. Tìm U V P → và V U P → . d. Sử dụng công thức đổi tọa độ, tìm tọa độ của x theo cơ sở U cho m=2, n=6
Lời giải 1 :
\(\begin{array}{l}
U = \{u_1 = (m-2;2;5);u_2 = (2;1;3);u_3=(3;1;3)\},\\
V= \{v_1 = (m-1;2;1);v_2 = (m,2,1);v_3=(-1;7;4)\}.\\
a)\\
+)\quad \text{Xét}\ x_1u_1 + x_2u_2 + x_3u_3 = \theta\\
\Leftrightarrow x_1(m-2;2;5) + x_2(2;1;3) + x_3(3;1;3) = (0;0;0)\\
\Leftrightarrow \begin{cases}(m-2)x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0\\\qquad\ \ \ \ 2x_1 +\ x_2\ +\ x_3 = 0\\\qquad\ \ \ \ 5x_1 + 3x_2 + 3x_3 = 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}2x_1 + x_2 + x_3 = 0\\\qquad\ \ x_2 +x_2 = 0\\\qquad \qquad \quad x_3 = 0\end{cases} \\
\Leftrightarrow x_1 = x_2 = x_3 = 0\\
\Rightarrow \text{U độc lập tuyến tính}\\
\Rightarrow \text{U là một cơ sở của $\Bbb R^3$}\\
+)\quad \text{Xét}\ x_1v_1 + x_2v_2 + x_3v_3 = \theta\\
\Leftrightarrow x_1(m-1;2;1) + x_2(m;2;1) + x_3(-1;7;4) = (0;0;0)\\
\Leftrightarrow \begin{cases}(m-1)x_1 + mx_2 - x_3 = 0\\\qquad\ \ \ 2x_1 + 2x_2 + 7x_3 =0\\\qquad\quad\ x_1 +\ x_2 +\ 4x_3 = 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2x_1\ +\ 2x_2\ +\ 7x_2 =0\\2x_2 + (-7m + 5)x_3 = 0\\\qquad \qquad \qquad \quad x_3 =0\end{cases}\\
\Leftrightarrow x_1 = x_2 = x_3 = 0\\
\Rightarrow \text{V độc lập tuyến tính}\\
\Rightarrow \text{V là một cơ sở của $\Bbb R^3$}\\
b)\\
\quad \text{Gọi $x_V = (x_1;x_2;x_3)$ là tọa độ của vectơ $x$ theo cơ sở $V$}\\
\Leftrightarrow x_1v_1 + x_2v_2 + x_3v_3 = x\\
\Leftrightarrow x_1(m-1;2;1) + x_2(m;2;1) + x_3(-1;7;4) = (m;2;-3)\\
\Leftrightarrow \begin{cases}(m-1)x_1 + mx_2 - x_3 = m\\\qquad\ \ \ 2x_1 + 2x_2 + 7x_3 =2\\\qquad\quad\ x_1 +\ x_2 +\ 4x_3 = -3\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}2x_1\ +\ 2x_2\ +\ 7x_3 = 2\\2x_2 + (-7m+5)x_3 = 2\\\qquad \qquad \qquad \quad x_3 = -8\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 = 8 + 28m\\x_2 = 21 - 28m\\x_3 = -8\end{cases}\\
\text{Vậy}\ x_V = (8+28m;21-28m;-8)\\
c)\\
\quad \text{Gọi ${v_1}_U = (x_1;x_2;x_3)$ là tọa độ của vectơ $v_1$ theo cơ sở $U$}\\
\Leftrightarrow x_1u_1 + x_2u_2 + x_3u_3 = v_1\\
\Leftrightarrow x_1(m-2;2;5) + x_2(2;1;3) + x_3(3;1;3) = (m-1;2;1)\\
\Leftrightarrow \begin{cases}(m-2)x_1 + 2x_2 + 3x_3 = m-1\\\qquad\ \ \ \ 2x_1 +\ x_2\ +\ x_3 = 2\\\qquad\ \ \ \ 5x_1 + 3x_2 + 3x_3 = 1\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}2x_1 + x_2 + x_3 = 2\\\qquad\ \ \ x_2 + x_3 = -8\\\qquad \qquad \quad x_3 = -4m + 25 \end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 = 5\\x_2 = -33 + 4m\\x_3 = -4m + 25 \end{cases}\\
\Rightarrow {v_1}_U = (5;-33 + 4m;25 -4m)\\
\Rightarrow [v_1]_U = \left[\matrix{5\\-33+4m\\25-4m}\right]\\
\text{Tương tự, ta được:}\\
[v_2]_U = \left[\matrix{5\\-34+4m\\26-4m}\right]\\
[v_3]_U = \left[\matrix{17\\-114+17m\\87-17m}\right]\\
\text{Vậy}\ P_{U \to V} = \left[\matrix{5&5&17\\-33+4m&-34+4m&-114+17m\\25-4m&26-4m&87-17m} \right]\\
\text{Gọi ${u_1}_V = (x_1;x_2;x_3)$ là tọa độ của vectơ $u_1$ theo cơ sở $V$}\\
\Leftrightarrow x_1v_1 + x_2v_2 + x_3v_3 = u_1\\
\Leftrightarrow x_1(m-1;2;1) + x_2(m;2;1) + x_3(-1;7;4) = (m-2;2;5)\\
\Leftrightarrow \begin{cases}(m-1)x_1 + mx_2 - x_3 = m-2\\\qquad\ \ \ 2x_1 + 2x_2 + 7x_3 = 2\\\qquad \quad\ \ x_1 +\ x_2 + 4x_3 = 5\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}\quad\ \ 2x_1 + 2x_2 + 7x_3 = 2\\2x_2 + (-7m + 5)x_3 = -2\\\qquad \qquad \qquad \quad\ x_3 = 8\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 = -6-28m\\x_2 =-21 + 28m\\ x_3 = 8\end{cases}\\
\Rightarrow {u_1}_V = (-6-28m;-21+28m;8)\\
\Rightarrow [u_1]_V = \left[\matrix{-6-28m\\-21+28m\\8}\right]\\
\text{Tương tự ta được:}\\
\Rightarrow [u_2]_V = \left[\matrix{-\dfrac{13}{2}-17m\\-10+17m\\5}\right]\\
\Rightarrow [u_3]_V = \left[\matrix{-\dfrac{15}{2}-17m\\-9+17m\\5}\right]\\
P_{V \to U} = \left[\matrix{-6-28m&-\dfrac{13}{2}-17m&-\dfrac{15}{2} -17m\\-21 + 28m&-10+17m&-9+17m\\8&5&5} \right]\\
d)\\
\text{Ta có:}\\
\quad [x]_U = P_{U \to V}.[x]_V\\
\Leftrightarrow [x_U] = \left[\matrix{5&5&17\\-33+4m&-34+4m&-114+17m\\25-4m&26-4m&87-17m} \right]\cdot \left[\matrix{8+28m\\21-28m\\-8}\right]\\
\Leftrightarrow [x_U] = \left[\matrix{9\\8m-66\\-8m+50}\right]
\end{array}\)
Thảo luận
Có thể bạn quan tâm
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Xem thêm tại https://loigiaisgk.com/cau-hoi or https://giaibtsgk.com/cau-hoi
Copyright © 2021 HOCTAPSGK