Bài 4:

`a)`

Độ dài đoạn `AC` là:

`AC=DC+AD=3+4,5=7,5(m)`

Vì `AB``/``/``DF(g``t)`, áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét ta có:

             `(DC)/(AC)=(DF)/(AB)` hay `3/(7,5)=2/(AB)`

                                       `⇒AB=(7,5.2)/3=5(m)`

Vậy độ dài đoạn `AC` là `7,5m`

       khoảng cách `AB` là `5m`

`b)`

Áp dụng định lý Py-ta-go vào `Δ` vuông `CDF` ta có:

                         `CF²=DC²+DF²`

                         `CF²=3²+2²`

                         `CF²=9+4`

                         `CF²=13`

                         `CF=`$\sqrt[]{13}$ 

                         `CF≈4(m)`

Vì `AB``/``/``DF(g``t)`, áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét ta có:

               `(DC)/(AC)=(CF)/(CB)` hay `3/(7,5)=4/(CB)`

                                                 `⇒CB=(7,5.4)/3=10(m)`

Vậy khoảng cách `2` điểm `C` và `B` là `10m`

Bài 5:

`a)`

Xét `ΔAKH` và `ΔAHC` có:

    `hat{A}:chung`

  `hat{AKH}=hat{AHC}=90^o`

`⇒ΔAKH`$\sim$`ΔAHC(g.g)(đpcm)`

`⇒(AH)/(AC)=(AK)/(AH)`

`⇒AH²=AK.AC(đpcm)`

`b)`

Gọi `O` là giao điểm của `AH` và `KI`

Xét tứ giác `AKHI` có:

`hat{AKH}=hat{KAI}=hat{AIH}=90^o`

`⇒` tứ giác `AKHI` là hình chữ nhật `(` tứ giác có `3` góc vuông là hình chữ nhật `)`

`⇒OA=OI(` tính chất hình chữ nhật `)`

`⇒ΔOAI` cân tại `O`

`⇒hat{HAI}=hat{KIA}(` tính chất `Δ` cân `)`

Mà `hat{HAI}+hat{ABC}=90^o(2` góc phụ nhau `)`

       `hat{ABC}+hat{BCA}=90^o(2` góc phụ nhau `)`

`⇒hat{KIA}=hat{BCA}`

Xét `ΔKAI` và `ΔBAC` có:

   `hat{KIA}=hat{BCA}(cmt)`

   `hat{KAI}=hat{BAC}=90^o`

`⇒ΔKAI`$\sim$`ΔBAC(g.g)`

`⇒(AK)/(AB)=(AI)/(AC)`

`⇒AI.AB=AK.AC(đpcm)`

`c)`

Xét `ΔBCK` có `DM``/``/``BK(g``t)`, áp dụng định lý Ta-lét ta có:

                         `(CM)/(MK)=(CD)/(BD)(1)`

Xét `ΔABC` có `AD` là tia phân giác của `hat{BAC}` nên ta có:

                         `(CD)/(BD)=(AC)/(AB)(2)`

Theo câu `b)` ta có:`(AK)/(AB)=(AI)/(AC)`

Hay `(AI)/(AK)=(AC)/(AB)(3)`

Xét `ΔAKI` có `AE` là tia phân giác của `hat{KAI}` nên ta có:

                    `(EI)/(EK)=(AI)/(AK)(4)`

Từ `(1),(2),(3)` và `(4)⇒(CM)/(MK)=(EI)/(EK)`

Xét `ΔCKI` có:

`(CM)/(MK)=(EI)/(EK)(cmt)`

`⇒ME``/``/``CI(` theo định lý Ta-lét đảo `)(đpcm)`