Đáp án:

c/ $R^2(\pi -1)$

Giải thích các bước giải:

 a/ Ta có: $\widehat{HMB}=90^0$ (góc nội tiếp nửa đường tròn)

$⇒ \widehat{HMB}+\widehat{OHB}=90^0+90^0=180^0$

$⇒ OHMB$ là tứ giác nội tiếp

Vì $CD ⊥ AB$ nên $D$ là điểm chính giữa cung $AB$

$⇒ \widehat{EMD}=\widehat{BMD}$

Xét $ΔMDE$ và $ΔMDB$

Có: $MD$ chung

$\widehat{EMD}=\widehat{BMD}$

$ME=MB$ (gt)

$⇒ ΔMDE=ΔMDB$ $(c-g-c)$

b/ Từ câu $a$ ta có: $DB=DE$

Mà $D$ là điểm chính giữa cung $AB$ nên $DB=DA$

$⇒ DA=DB=DE$

$⇒ D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ΔABE$

Ta có: $DE=DB$ và $ME=MB$

$⇒ MD$ là đường trung trực đoạn $EB$

Mà $I ∈ MD$ nên $IE=IB$

$⇒ I$ là điểm chính giữa cung $EB$

$⇒ \widehat{EAI}=\widehat{BAI}$

Hay $AI$ là phân giác $\widehat{EAB}$

và $MI$ là phân giác $\widehat{AMB}$

$⇒ I$ là giao điểm $2$ đường phân giác $ΔMAB$

$⇒ I$ là tâm đường tròn nội tiếp $ΔMAB$

Gọi $F$ là giao điểm của $AM$ và $BC$

Theo đề: $FB=FC$

Xét $ΔABC$ có: $AF, CO$ là các đường trung tuyến cắt nhau tại $H$

$⇒ H$ là trọng tâm $ΔABC$

$⇒ HO=\dfrac{CO}{3}=\dfrac{R}{3}$

Xét $ΔMAB$ và $ΔOAH$

Có: $\widehat{MAB}$ chung

$\widehat{AMB}=\widehat{AOH}$ $(=90^0)$

$⇒ ΔMAB \backsim ΔOAH$

$⇒ \dfrac{MA}{MB}=\dfrac{OA}{OH}=\dfrac{R}{\dfrac{R}{3}}=3$

$⇒ \tan \widehat{MAB}=\dfrac{MB}{MA}=\dfrac{1}{3}$

$⇒ \widehat{MAB}=18^026'$

c/ Diện tích nửa hình tròn $(O; R)$ là: $S_{a}=\dfrac{\pi R^2}{2}$

Ta có: $BD=\dfrac{OB}{\sin 45^0}=R\sqrt{2}$

Diện tích hình quạt $ADB$ của hình tròn $(D; DA)$:

$S_{1}=\dfrac{\pi (R\sqrt{2})^2.90}{360}=\dfrac{\pi R^2}{2}$

Diện tích $ΔADB$ là: $S_{2}=\dfrac{1}{2}.OD.AB=\dfrac{1}{2}.R.2R=R^2$

Diện tích hình viên phân $AEIB$ của $(D; DA)$:

$S_{b}=S_{1}-S_{2}=\dfrac{\pi R^2}{2}-R^2=\dfrac{R^2(\pi -2)}{2}$

Diện tích phần chung của $2$ hình tròn $(O; R)$ và $(D; DA)$:

$S=S_{a}+S_{b}=\dfrac{\pi R^2}{2}+\dfrac{R^2(\pi -2)}{2}$

$=\dfrac{2\pi R^2-2R^2}{2}=\pi R^2-R^2=R^2(\pi -1)$