Đáp án:

` a,\triangle ABC` `~` `\triangle EFC `

`b,IH=IK;NC=ND` 

`c,``(AH)/(HE)+(BH)/(HF)+(CH)/(HG)>6`

Giải thích các bước giải:

`Xét ` `\triangle CAE` `và` `\triangle CBF` ` có `

`\hat{ACB} ` ` chung`

`\hat{CEA}=\hat{BFC}(=90^0)`

`=>``\triangle CAE ~ \triangle CBF``(g.g)`

`=>(CA)/(BC)=(CE)/(CF)`

` Xét ` `\triangle ABC` `và` `\triangle EFC ` ` có`

`\hat{ACB} ` ` chung `

`(CA)/(BC)=(CE)/(CF)`

`=>` `\triangle ABC` `~` `\triangle EFC `

 ` Vậy ` `\triangle ABC` `~` `\triangle EFC `

`b,` ` Có `  `IK` `/ ` `/ ` `CD`

` Và `  `IK⊥HM`

`=>HM⊥CD`

` Mà ` `CE⊥HN`

`=> M`  ` là ` ` trực ` ` tâm ` `\triangleCHN`

`=>NM⊥CH`

` Mà ` ` HC⊥BD`

`=>MN` `/` `  /` `BD`

`Mà ` ` M `  ` là ` ` trung` `  điểm `  ` BC`

`=> N `  ` là  ` ` trung ` ` điểm `  `CD`

`=>NC=ND`

` Xét ` ` \triangleACN ` ` có ` ` HK` ` / ` ` / ` `CN`

`=>(HK)/(CN)=(AH)/(AN)`

`C``M``T``T` `(HI)/(CD)=(AH)/(AN)`

`=>(HK)/(CN)=(HI)/(CD)`

`=>HK=HI`

 ` Vậy ` `IH=IK;NC=ND` 

`c,` ` G  ` ` là ` ` giao `  ` điểm ` ` CH ` ` và `  `AB`

`=>CG⊥AB`

`S_(AHC)=(CE.AH)/2`

`S_(CHE)=(CE.HE)/2`

`=>[S_(AHC)]/[S_(CHE)]=(AH)/(HE)`

`S_(ABH)=(BE.AH)/2`

`S_(BHE)=(BE.HE)/2`

`[S_(AHB)]/[S_(BHE)]=(AH)/(HE)`

`=>(AH)/(HE)=[S_(AHB)]/[S_(BHE)]=[S_(AHC)]/[S_(CHE)]=[S_(AHB)+S_(AHC)]/[S_(BHE)+S_(CHE)]`

`=[S_(AHB)+S_(AHC)]/[S_(HBC]`

` C``M``T``T ` `  ta ` ` có `

`(BH)/(HF)=[S_(CHB)+S_(AHB)]/[S_(ACH)]`

`(CH)/(HG)=[S_(BHC)+S_(AHC)]/[S_(AHB)]`

` Đặt ` `S_(BHC)=S_1``(S_1>0)`

`S_(AHC)=S_2``(S_2>0)`

`S_(AHB)=S_3``(S_3>0)`

`=>(AH)/(HE)+(BH)/(HF)+(CH)/(HG)=(S_1)/(S_2)+(S_2)/(S_3)+(S_1)/(S_3)+(S_2)/(S_1)+(S_3)/(S_2)+(S_3)/(S_1)`

` Áp ` `  bất  ` `  đẳng ` ` thức `  ` Cô-si `

`(S_1)/(S_2)+(S_2)/(S_1)>=2`

`(S_1)/(S_3)+(S_3)/(S_1)>=2`

`(S_3)/(S_2)+(S_2)/(S_3)>=2`

`=>(AH)/(HE)+(BH)/(HF)+(CH)/(HG)>=6`

` Dấu ` ` =` ` xảy ` `ra `

`<=> \triangle ` ` ABC`  ` đều `

` Mà ` `\triangleABC ` ` có `  `AB<AC`

`=> Dấu ` ` = ` ` không ` ` xảy `  `ra `

` Vậy ` `(AH)/(HE)+(BH)/(HF)+(CH)/(HG)>6`