Đáp án + giải thích các bước giải:

`MA` tiếp tuyến của `(O)`

`->OA⊥MA`

`->ΔOAM` vuông tại `A`

`MA=MB` (tính chất tiếp tuyến)

`OA=OB=R`

`->OM` là đường trung trực của `AB`

`->AB⊥OM`

`AB∩OM={H}`

`->AH⊥OM` và `H` là trung điểm `AB`

Xét `ΔOAM` vuông tại `A` có `AH` là đường cao

+) `OA^2+AM^2=OM^2`

`->R^2+AM^2=(2R^2)`

`->AM^2=4R^2-R^2`

`->AM^2=3R^2`

+) `1/(OM^2)+1/(AM^2)=1/(AH)^2`

`->1/(R^2)+1/(3R^2)=1/(AH^2)`

`->4/3 R^2=1/(AH^2)`

`->AH^2=3/4 R^2`

`->(AB/2)^2=3/4 R^2`

`->(AB)^2/4=3/4 R^2`

`->AB^2=3R^2`

`->AB^2=AM^2`

`->AB=AM`

`->ΔABM` cân tại `A`

`OI⊥AB`

`->I` là điểm chính giữa cung `AB`

`->`$\overparen{AI}=\overparen{BI}$

`\hat{IAM}=1/2 sd` $\overparen{AI}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

`\hat{BAI}=1/2 sd` $\overparen{BI}$ (góc nội tiếp)

`->\hat{IAM}=\hat{BAI} `

`->AI` là phân giác `\hat{BAM}`

mà `ΔBAM` cân tại `A`

`->AI` là đường trung trực của `BM`

`->AK` là đường trung trực của `BM`

`->K` là trung điểm `BM`

`->(MK)/(MB)=1/2`

Tam giác $\Delta AMB$ có $MA=MB$ theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau

Tam giác vuông $OAM$ có $OA=R$, $OM=2R$ nên dễ dàng chứng minh được tam giác OAM là nửa tam giác đều.

$ \Rightarrow \widehat {AMO} = {30^o} \Rightarrow \widehat {AMB} = 2\widehat {AMO} = {60^o}$. Từ đó ta có được tam giác ABM đều.

$\begin{array}{l}  \Rightarrow M{B^2} = M{A^2} = O{M^2} - O{A^2} = 3{R^2}\\  \Rightarrow MB = R\sqrt 3  \end{array}$

Tam giác vuông $OAM$ có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $AI=OI=IM=R=OA$

Tương tự $OB=OI=BI=OI=R$ nên ta có tứ giác OAIB là hình thoi.

Lại có $\widehat{AOI}=60^o$ nên tam giác OAI đều.

$\begin{array}{l} \widehat {BAK} = \dfrac{1}{2}\widehat {OAI} = \frac{1}{2}{.60^o} = {30^o}\\  \Rightarrow \widehat {ABK} + \widehat {BAK} = {60^o} + {30^o} = {90^o}\\  \Rightarrow AK \bot BM \end{array}$

Lại có tam giác $MAB$ đều nên AK là trung điểm MB nên $\dfrac{MB}{MK}=\dfrac{1}{2}$