a) Xét \(ΔABC\):

\(M,N\) là trung điểm của hai đoạn thẳng \(AB,AC\)

\(→MN\) là đường trung bình \(ΔABC\)

\(→MN=\dfrac{BC}{2}\) hay \(2,5=\dfrac{BC}{2}\)

\(↔BC=5cm\)

b) \(MN\) là đường trung bình \(ΔABC\)

\(→MN//BC\) (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Xét \(ΔMBC\):

\(K,I\) là trung điểm của hai đoạn thẳng \(MC,MB\)

\(→KI\) là đường trung bình \(ΔMBC\)

\(→KI//BC\) và \(KI=\dfrac{BC}{2}\) (tính chất đường trung bình trong tam giác)

mà \(MN//BC\) và \(MN=\dfrac{BC}{2}\)

\(→MN//KI\) và \(MN=KI\)

Xét tứ giác \(MNIK\):

\(MN//KI,MN=KI\)

\(→\) Tứ giác \(MNIK\) là hình bình hành

c) Tứ giác \(MNIK\) là hình chữ nhật

mà  tứ giác \(MNIK\) là hình bình hành

\(→\widehat{MKI}=90°\) mà \(KI//BC\)

\(→\widehat{MBC}=90°\) hay \(\widehat{ABC}=90°\)

\(→ΔABC\) vuông tại \(B\)

d) Kẻ đường cao \(AH\) ứng \(BC\) trong \(ΔABC\) và \(AH∩BC≡\{L\}\)

\(MN//BC\) mà \(AH⊥BC\) (\(AH\) là đường cao \(BC\) )

\(→AH⊥MN\) hay \(AL⊥MN\)

\(ML//BH\) là \(M\) là trung điểm \(AB\)

\(→L\) là trung điểm \(AH\) (tính chất đường trung bình)

\(→AL=\dfrac{AH}{2}↔AH=2AL\)

\(MN=\dfrac{BC}{2}↔2MN=BC\)

\(S_{ΔABC}=\dfrac{1}{2}.AH.BC\\=\dfrac{1}{2}.2AL.2MN\\=4.\dfrac{1}{2}.AL.MN\\=4S_{ΔAMN}\)

mà \(S_{ΔABC}=a\)

\(→a=4S_{ΔAMN}\)

\(↔\dfrac{a}{4}=S_{ΔAMN}\) (đvdt)

Vậy \(S_{ΔAMN}=\dfrac{a}{4}\) (đvdt)

Giải thích các bước giải:

 Kẻ AE ⊥ BC tại E.

      AE cắt MN tại G

Ta có: MN ║ BC (cmt)

⇒ MN ⊥ AE ⇔ MN ⊥ AG

Ta có: MG ║ BE

⇒ $\frac{AG}{AE}$ = $\frac{AM}{AB}$ = $\frac{1}{2}$  

$\frac{{\displaystyle \triangle AMN}}{{\displaystyle \triangle ABC}}$ = $\frac{\frac{1}{2}AG.MN}{\frac{1}{2}AE.BC}$ 

                 = $\frac{AG}{AE}$ . $\frac{MN}{BC}$ = $\frac{1}{2}$ . $\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$ 

⇒ S \({\displaystyle \triangle AMN}\) =  $\frac{a}{4}$