a, Xét (O), đường kính AB có: K ∈ (O) ⇒$\widehat{AKB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ BK ⊥ AC ⇒ $\widehat{AKB}=\widehat{BKC}=90°$ Hay $\widehat{AKE}=\widehat{EKC}=90°$

MN ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{MHA}=90°$ Hay $\widehat{EHA}=90°$

Xét tứ giác AHEK có: $\widehat{AKE}+\widehat{AHE}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn đường kính AE

b, MN ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{MHA}=90°$ Hay $\widehat{CHA}=90°$

Xét ΔCKE và ΔCHA có:

$\widehat{CKE}=\widehat{CHA}=90°$

$\widehat{ACH}$: góc chung

⇒ ΔCKE ~ ΔCHA (g.g)

⇒ $\frac{CK}{CH}=\frac{CE}{CA}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ CK.CA=CH.CE

Xét (O) có: $\widehat{KAM}=\widehat{KNM}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{KM}$)

Hay $\widehat{CAM}=\widehat{CNK}$

Xét ΔCAM và ΔCNK có:

$\widehat{CAM}=\widehat{CNK}$ (cmt)

$\widehat{ACN}$: góc chung

⇒ ΔCAM ~ ΔCNK (g.g)

⇒ $\frac{CA}{CN}=\frac{CM}{CK}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ CK.CA=CN.CM

Mà CK.CA=CH.CE (cmt)

⇒ CM.CN=CH.CE

c, Xét (O) có:

AB là đường kính

MN là dây không đi qua tâm

AB ⊥ MN (gt)

⇒ B nằm chính giữa $\overparen{MN}$

⇒ $\overparen{BM}=\overparen{BN}$

Xét (O) có:

$\widehat{MKB}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BM}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{BM}$)

$\widehat{BKN}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BN}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{BN}$)

$\overparen{BM}=\overparen{BN}$ (cmt)

⇒ $\widehat{MKB}=\widehat{BKN}$

Có BK ⊥ AC (cmt)

Mà NF ⊥ AC (gt)

⇒ BK // NF (từ vuông góc đến song song)

⇒ $\widehat{MKB}=\widehat{MFN}$ (hai góc đồng vị)

$\widehat{BKN}=\widehat{KNF}$ (hai góc so le trong

Mà $\widehat{MKB}=\widehat{BKN}$ (cmt)

⇒ $\widehat{KNF}=\widehat{MFN}$ Hay $\widehat{KNF}=\widehat{KFN}$

Xét ΔKNF có: $\widehat{KNF}=\widehat{KFN}$ (cmt)

⇒ ΔKNF cân tại K

Mà NF ⊥ AK 

⇒ AK là trung trực của NF

Mà C ∈ AK

⇒ CN = CF

Xét ΔCNF có: CN = CF (cmt)

⇒ ΔCNF cân tại C

 dối lắm