Đáp án:

`m=6/5`

Giải thích các bước giải:

`d(0;(d))=2/{sqrt[4(m-1)^2+(m-2)^2]}`     `max`

Khi và chỉ khi `:` `sqrt[4(m-1)^2+(m-2)^2]`     `min`

`⇔` `4(m^2-2m+1)+m^2-4m+4`     `min`

`⇔` `(5m^2-12m+8)`     `min`

`⇔` `m=6/5`

Vậy `m=6/5` thì `(d)` cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất.

Giao điểm của (d) với trục tung là: y = $\frac{2}{m-2}$  ⇒ A (0;$\frac{2}{m-2}$)

Giao điểm của (d) với trục hoành là: x = $\frac{1}{m-1}$ ⇒ B ($\frac{1}{m-1}$;0)

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O (góc tọa độ) đến đường thằng (d) 

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

$\frac{1}{OH^{2}}$ = $\frac{1}{OA^{2}}$ + $\frac{1}{OB^{2}}$

$\frac{1}{OH^{2}}$ = $\frac{1}{(\frac{2}{m-2})^{2}}$ + $\frac{1}{(\frac{1}{m-1})^{2}}$

$\frac{1}{OH^{2}}$ = $\frac{(m-2)^{2}}{4}$ + $(m-1)^{2}$ 

$\frac{1}{OH^{2}}$ = $\frac{m^{2}-4m+4}{4}$ + $\frac{4m^{2}-8m+4}{4}$ 

$\frac{1}{OH^{2}}$ = $\frac{5m^{2}-12m+8}{4}$ 

⇒ $OH^{2}$ = $\frac{4}{5m^{2}-12m+8}$ 

|OH| = $\sqrt[]{\frac{4}{5m^{2}-12m+8}}$ = $\frac{2}{\sqrt[]{5m^{2}-12m+8}}$  

|OH| = $\frac{2}{\sqrt[]{5(m^{2}-\frac{12m}{5}+\frac{8}{5}}}$ = $\frac{2}{\sqrt[]{5(m^{2}-2m.\frac{6}{5}}+\frac{16}{25}+\frac{4}{25})}$  

|OH| = $\frac{2}{\sqrt[]{5(m^{2}-\frac{6}{5})^{2}+\frac{4}{5}}}$ $\leq$ $\frac{2}{\sqrt[]{\frac{4}{5}}}$ = $\frac{2}{{\frac{2}{\sqrt[]{5}}}}$ = $\sqrt[]{5}$ 

Dấu "=" xảy ra khi m = $\frac{6}{5}$

Vậy khoảng cách lớn nhất từ (d) đến gốc tọa độ là $\sqrt[]{5}$ khi m = $\frac{6}{5}$