`1)` $EH\perp AB$ tại $H$

`=>\hat{BHE}=90°`

$\quad EK\perp AC$ tại $K$

`=>\hat{BKE}=90°`

`=>\hat{BHE}+\hat{BKE}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{BHE};\hat{BKE}` ở vị trí đối nhau

`=>BHEK` nội tiếp 

$\\$

`2)` $∆ABE$ vuông tại $E$ có $EH\perp AB$

`=>BE^2=BH.BA` (hệ thức lượng)

$\quad ∆BCE$ vuông tại $E$ có $EK\perp BC$

`=>BE^2=BK.BC` (hệ thức lượng)

$\\$

`=>BH.BA=BK.BC`

$\\$

`3)` $∆EFH$ vuông tại $H$ có $I$ là trung điểm $EF$

`=>HI` là trung tuyến $∆EFH$

`=>HH=FI=1/ 2 EF`

`=>∆IHF` cân tại $I$

`=>\hat{IHF}=\hat{IFH}` $(1)$

$\\$

Vì `BH.BA=BK.BC` (c/m trên)

`=>{BA}/{BC}={BK}/{BH}`

Xét $∆ABC$ và $∆KBH$ có:

`\qquad \hat{B}` chung

`\qquad {BA}/{BC}={BK}/{BH}`

`=>∆ABC∽∆KBH` (c-g-c)

`=>\hat{ACB}=\hat{KHB}` $(2)$

$\\$

Vì `\hat{BFC}=\hat{BEC}=90°`

`=>F;E` cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông

`=>BCEF` nội tiếp 

`=>\hat{IFH}=\hat{ACB}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện) $(3)$

$\\$

Từ `(1);(2);(3)=>\hat{IHF}=\hat{KHB}`

`=>\hat{IHB}=\hat{KHB}`

`=>H;I;K` cùng thuộc $1$ đường thẳng 

`=>H;I;K` thẳng hàng