a, BM ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{BMC}=\widehat{BMA}=90°$ Hay $\widehat{HMA}=90°$

CN ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{BNC}=\widehat{ANC}=90°$ Hay $\widehat{HNA}=90°$

Xét tứ giác BNMC có: $\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90°$

Tứ giác có hai đỉnh N và M cùng nhìn BC dưới một góc vuông

⇒ Tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn đường kính BC

b, Tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn đường kính BC (cmt)

⇒ $\widehat{NBM}=\widehat{NCM}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{NM}$)

Hay $\widehat{ABE}=\widehat{HCM}$

Xét (O) có: $\widehat{ABE}=\widehat{ACE}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{AE}$)

⇒ $\widehat{HCM}=\widehat{ACE}$ Hay $\widehat{HCM}=\widehat{MCE}$

⇒ CM là phân giác $\widehat{HCE}$

Xét ΔCHE có:

CM là phân giác $\widehat{HCE}$ (cmt)

CM là đường cao (BM ⊥ AC) 

⇒ ΔCHE cân tại C

Mà CM là đường cao (cmt)

⇒ CM là trung tuyến ⇒ M là trung điểm của HE

Xét (O), đường kính AD có: C ∈ (O) (gt)

⇒ $\widehat{ACD}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ CD ⊥ AC

Mà BE ⊥ AC (BM ⊥ AC)

⇒ CD // BE (từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác BECD có: CD // BE (cmt)

⇒ BECD là hình thang

Xét (O) có: B, E, C, D ∈ (O)

⇒ BECD nội tiếp (O)

Mà BECD là hình thang (cmt)

⇒ BECD là hình thang cân 

c, Xét (O), đường kính AD có: B ∈ (O) (gt)

⇒ $\widehat{ABD}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ BD ⊥ AB

Mà CN ⊥ AB (gt)

⇒ BD // CN (từ vuông góc đến song song)

⇒ $\widehat{EHC}=\widehat{EBD}$ (hai góc ở vị trí đồng vị)

Hay $\widehat{EHK}=\widehat{EBD}$

Xét (O) có: $\widehat{EAD}=\widehat{EBD}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{ED}$)

⇒ $\widehat{EHK}=\widehat{EAD}$ Hay $\widehat{EHK}=\widehat{EAK}$

Xét tứ giác AEKH có: $\widehat{EHK}=\widehat{EAK}=α$ (cmt)

Tứ giác có hai đỉnh H và K cùng nhìn EK dưới hai góc α bằng nhau

⇒ Tứ giác AEKH nội tiếp 

⇒ $\widehat{AKE}=\widehat{AHE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{AE}$)

Hay $\widehat{AKE}=\widehat{AHM}$

Xét tứ giác AMHN có: $\widehat{HMA}+\widehat{HNA}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác ANHM nội tiếp đường tròn đường kính AH

⇒ $\widehat{ANM}=\widehat{AHM}$ (hai góc nội tiếp chắn $\widehat{AM}$)

Mà $\widehat{AKE}=\widehat{AHM}$ (cmt)

⇒ $\widehat{AKE}=\widehat{ANM}$

Tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn đường kính BC (cmt)

⇒ $\widehat{MCB}+\widehat{MNB}=180°$ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà $\widehat{ANM}+\widehat{MNB}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{ANM}=\widehat{MCB}$

Mà $\widehat{AKE}=\widehat{ANM}$ (cmt)

⇒ $\widehat{AKE}=\widehat{MCB}$ Hay $\widehat{AKE}=\widehat{ACB}$

BECD là hình thang cân (cmt) ⇒ BD = EC ⇒ $\overparen{BD}=\overparen{EC}$

Xét (O) có: 

$\widehat{BAD}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BD}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{BD}$)

$\widehat{EAC}=\frac{1}{2}sđ\overparen{EC}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{EC}$)

$\overparen{BD}=\overparen{EC}$ (cmt)

⇒ $\widehat{BAD}=\widehat{EAC}$

$\widehat{EAK}=\widehat{EAC}+\widehat{CAK}$

$\widehat{BAC}=\widehat{BAD}+\widehat{DAC}$

⇒ $\widehat{EAK}=\widehat{BAC}$

Xét ΔABC và ΔAEK có:

$\widehat{BAC}=\widehat{EAK}$ (cmt)

$\widehat{ACB}=\widehat{AKE}$ (cmt)

⇒ ΔABC ~ ΔAEK (g.g)