Phương trình hoành độ giao điểm:

 `-x^2=2x+m+1`

`<=> x^2+2x+m+1=0`

`Δ=b^2-4ac`

  `=(-2)^2-4.1.(m+1)`

  `=4-4m-4`

  `=-4m`

Để `(d)` cắt `(P)` tại 2 điểm phân biệt 

thì `Δ>0`

 hay `-4m>0`

   `=> m<0`

Với `m<0` thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$\left \{ {{x_1+x_2=-b/a=-2} \atop {x_1.x_2=c/a=m+1}} \right.$

Ta có: `K=1/(x_1)+1/(x_2)`

           `=(x_1+x_2)/(x_1x_2)`

           `=-2/(m+1)`   `(đk: m`$\neq$ `-1)`

Để `K` là số nguyên

thì `2 \vdots m+1`

`=> m+1 ∈ Ư(2)={-2;-1;1;2}`

*Với `m+1=-2`

   `<=> m=-3` (thỏa)

*Với `m+1=-1`

   `<=> m=-2` (thỏa)

*Với `m+1=1`

   `<=> m=0` (loại)

*Với `m+1=2`

   `<=> m=1` (loại)

Vậy `m ∈ {-3;-2}` thì `K` là số nguyên

Phương trình hoành độ giao điểm

$-x^2=2x+m+1\\\Leftrightarrow x^2+2x+m+1=0$

$∆=4-4m-4=-4m$

Để pt có 2 nghiệm pb thì $∆>0\Leftrightarrow m<0$

Theo Vi-et ta có

$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=m+1\end{matrix}\right.$

Lại có

$K=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{-2}{m+1}$

Để $K$ có giá trị nguyên thì 

$m+1=\{-2;-1;1;2\}\\\Leftrightarrow m=\{-3;-2;0;1\}$

Kết hợp với điều kiện thì

$m=\{-3;-2\}$ là giá trị cần tìm.