$\begin{array}{l} A = \dfrac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 2}} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\\  = \dfrac{{{x^2} + 2x + 3 - \dfrac{1}{2}{x^2} - 2.\dfrac{1}{2}}}{{{x^2} + 2}} + \dfrac{1}{2}\\  = \dfrac{{\dfrac{1}{2}{x^2} + 2x + 2}}{{{x^2} + 2}} + \dfrac{1}{2}\\  = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4}}{{2\left( {{x^2} + 2} \right)}} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{2\left( {{x^2} + 2} \right)}} + \dfrac{1}{2} \ge \dfrac{1}{2}\\  \Rightarrow \min A = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\\ A = \dfrac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 2}} - 2 + 2\\ A = \dfrac{{{x^2} + 2x + 3 - 2\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{{x^2} + 3}} + 2\\ A = \dfrac{{ - {x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} + 3}} + 2 = \dfrac{{ - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 3}} + 2 \le 2\\  \Rightarrow \max A = 2 \Rightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \end{array}$

Phương pháp thêm bớt một số a:

$\begin{array}{l} A = \dfrac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 2}} + a - a\\ A = \dfrac{{\left( {a + 1} \right){x^2} + 2x + 3 + 2a}}{{{x^2} + 2}} - a \end{array}$

Vì mẫu số dương nên ta cần cho tử số là bình phương của một biểu thức. Điều đó tương đương với

$\Delta ' = 0 \Leftrightarrow 1 - \left( {3 + 2a} \right)\left( {1 + a} \right) = 0$. Giải a ta được hai số cần tìm để được min, max