Đáp án:

`m=4` 

Giải thích các bước giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của `(P)y=x^2` và `(d)y= 2mx-m^2+m`

`<=>x^2=2mx-m^2+m`

`<=>x^2-2mx+m^2-m=0`

Ta có: `a=1;b=-2m;c=m^2-m`

`=>b'=b/2=-m`

`∆'=b'^2-ac=(-m)^2-1.(m^2-m)=m`

Để `(d)` cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ `x_1;x_2`

`<=>` Phương trình có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2`

`<=>∆'>0<=>m>0`

Theo hệ thức Viet ta có:

$\quad \begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-m\end{cases}$

Để `\sqrt{x_1};\sqrt{3x_2}` xác định thì:

`x_1;x_2\ge 0;x_1\ne x_2` (do $2$ nghiệm phân biệt)

`=>`$\begin{cases}x_1+x_2=2m> 0\\x_1x_2=m^2-m\ge 0\end{cases}$

`=>`$\begin{cases}m> 0\\m(m-1)\ge 0\end{cases}$

`=>`$\begin{cases}m> 0\\m-1\ge 0\ (do\ m>0)\end{cases}$

`=>`$\begin{cases}m>0\\m\ge 1\end{cases}$`=>m\ge 1`

Để `\sqrt{x_1}=\sqrt{3x_2}`

`=>x_1=3x_2`

Vì `x_1+x_2=2m`

`<=>3x_2+x_2=2m`

`<=>4x_2=2m<=>x_2=m/2`

`=>x_1=3x_2=3/2 m`

Vì `x_1x_2=m^2-m`

`<=>3/2m . m/2=m^2-m`

`<=>3m^2=4(m^2-m)`

`<=>m^2-4m=0`

`<=>m(m-4)=0`

`<=>`$\left[\begin{array}{l}m=0\ (loại)\\m=4\ (thỏa\ đk)\end{array}\right.$

Vậy `m=4` thỏa đề bài