b,

Gọi $O'$ là tâm hình vuông $AMNC$

Gọi $O$ là tâm hình vuông $CEFB$

$\to O'$ là trung điểm $MC,AN, MC=AN$

Và $O$ là trung điểm $CF,BE, CF=BE$

$\Delta CHF$ vuông tại $H$ có $HO$ là đường trung tuyến.

$\to HO=\dfrac{1}{2}CF=\dfrac{1}{2}BE$

$\Delta EHB$ có: $HO=\dfrac{1}{2}BE,HO$ là đường trung tuyến.

$\to\Delta EHB$ vuông tại $H$

$\to \widehat{CHF}=90^o$

Tương tự: $\widehat{CHM}=90^o$

$\to \widehat{MHF}=90^o . 2=180^o$

$\to M,H,F$ thẳng hàng. $(1)$

$\widehat{NAC}=\dfrac{1}{2}\widehat{MAC}$(Do $AN$ là phân giác $\widehat{MAC}$)

$\to \widehat{NAC}=\dfrac{90^o}{2}=45^o$

Tương tự: $\widehat{FCB}=45^o$

$\to \widehat{NAC}=\widehat{FCB}=45^o\to O'P//CF$

Mà $O'$ là trung điểm $MC\to P$ là trung điểm $MF$

Mặt khác: $AN$ là đường trung trực $MC, P\in AC\to MP=CP\to CP=\dfrac{1}{2}MF$

$\Delta MCF$ có: $CP=\dfrac{1}{2}MF,CP$ là đường trung tuyến.

$\to \Delta MCF$ vuông tại $C$

$MP=CP\to \Delta MPC$ cân tại $P$

$\to \widehat{MCP}=\dfrac{180^o - \widehat{MPC}}{2}$

Tương tự: $\widehat{PCF}=\dfrac{180^o -\widehat{CPF}}{2}$

$\to 90^o =\dfrac{360^o - \widehat{MPF}}{2}\\\to \widehat{MPF}=180^o$

$\to M,P,F$ thẳng hàng. $(2)$

$(1),(2)\to M,D,H,F$ thẳng hàng,

c,

Kẻ $PV\bot AB(V\in AB)$

$AB$ cố định $\to V$ cố định.

$PV\bot AB,AM\bot AB,BF\bot AB\to PV//AM//BF$

Mà $P$ là trung điểm $MF$

$\to V$ là trung điểm $AB$

$\to PV$ là đường trung bình.

$\to PV=\dfrac{AM+BF}{2}=\dfrac{AC+BC}{2}=\dfrac{AB}{2}$ (Cố định).

$\to PV$ cố định mà $V$ cố định.

$\to P$ cố định.

$\to MF$ đi qua $P$ cố định khi $C$ di chuyển trên $AB$