Đáp án:

`1,`

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`AD` là đường phân giác

`-> AD` là đường cao, đường trung tuyến

Có : `AD` là đường trung tuyến

`-> D` là trung điểm của `BC`

Xét `ΔADB` vuông tại `D` có :

`AD^2 + BD^2 = AB^2` (Pitago)

`-> BD^2 = AB^2 - AD^2`

`-> BD^2 = 13^2 - 12^2`

`-> BD^2 = 5^2`

`-> BD = 5cm`

mà `D` là trung điểm của `BC`

`-> BD = 1/2 BC`

`-> 5 = 1/2BC`

`-> BC = 10cm`

$\\$

$\\$

$2,$

Xét `ΔBID` và `ΔMID` có :

`hat{BID} = hat{MID} = 90^o`

`BI = MI` (Do `I` là trung điêm của `BM`)

`ID` chung

`-> ΔBID = ΔMID` (cạnh - góc - cạnh)

`-> MD = BD` (2 cạnh tương ứng)

mà `BD = 1/2 BC` (Do `D` là trung điểm của `BC`)

`-> DM = 1/2 BC`

$\\$

$\\$

$3,$

Xét `ΔBDH` và `ΔCDH` có :

`hat{BDH} = hat{CDH} = 90^o` (Do `AH` là đường cao)

`BD = CD` (Do `D` là trung điểm của `BC`)

`HD` chung

`-> ΔBDH = ΔCDH` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{NBC} = hat{MCB}` (2 góc tương ứng)

Xét `ΔBMC` và `ΔCNB` có :

`hat{MCB} = hat{NBC}` (2 góc tương ứng)

`hat{B} = hat{C}` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`BC` chung

`-> ΔBMC = ΔCNB` (góc - cạnh - góc)

`-> BM = CN` (2 cạnh tương ứng)

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AM = AB - BM\\AN = AC - CN\end{array} \right.\)

mà `AB = AC, BM = CN`

`-> AM = AN`

`-> ΔAMN` cân tại `A`

`-> hat{AMN} = hat{ANM} = (180^o - hat{A})/2` `(1)`

Do `ΔABC` cân tại `A`

`-> hat{ABC} = hat{ACB} = (180^o - hat{A})/2` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> hat{AMN} = hat{ABC}`

hay `hat{AMN} = hat{IBD}`

Xét `ΔEIM` và `ΔDIB` có :

`hat{EIM} = hat{DIB}` (2 góc đối đỉnh)

`BI = MI` (Do `I` là trung điểm của `BM`)

`EI = DI` (giả thiết)

`-> ΔEIM = ΔDIB` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{EMI} = hat{IBD}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{AMN}= hat{IBD}` (chứng minh trên)

`-> hat{EMI} = hat{AMN} (= hat{IBD})`

Có : `hat{AMN} + hat{BMN} = 180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{EMI} = hat{AMN}`

`-> hat{EMI} + hat{BMN} = 180^o`

`-> hat{EMN} = 180^o`

`-> hat{EMN}` là góc bẹt

`-> E,M,N` thẳng hàng