a, Xét (O) có:

+ AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm ⇒ OB ⊥ AD ⇒ $\widehat{OBA}=\widehat{OBD}=90°$ 

+ AC là tiếp tuyến, C là tiếp điểm ⇒ OC ⊥ AC ⇒ $\widehat{OCA}=\widehat{OCE}=90°$

Xét tứ giác ABOC có: $\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90°+90°=180°$ 

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO

b, Xét (O) có:

AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau

B, C là hai tiếp điểm

⇒ AB = AC, AO là phân giác $\widehat{BAC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét ΔABC có: AB = AC (cmt)

⇒ ΔABC cân tại A

Mà AO là phân giác $\widehat{BAC}$ (cmt)

⇒ AO là trung trực của BC

⇒ AO ⊥ BC, M là trung điểm của BC

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔABO vuông tại B ($\widehat{OBA}=90°$), BM ⊥ AO (AO ⊥ BC) có: BM² = OM.AM

Có BC = 2BM (M là trung điểm của BC)

⇒ BC² = 4.BM² = 4.OM.AM

c, OI ⊥ DE (gt) ⇒ $\widehat{OID}=\widehat{OIE}=90°$

Xét tứ giác OIBD có: $\widehat{OBD}=\widehat{OID}=90°$ 

Tứ giác có hai đỉnh B và I cùng nhìn OD dưới một góc vuông

⇒ Tứ giác OIBD nội tiếp đường tròn đường kính OD

⇒ $\widehat{IBO}=\widehat{IDO}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{OI}$)

Hay $\widehat{OBC}=\widehat{ODE}$

Xét tứ giác OIEC có: $\widehat{OIE}+\widehat{OCE}=90°+90°=180°$ 

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác OIEC nội tiếp đường tròn đường kính OD

⇒ $\widehat{IEO}=\widehat{ICO}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{OI}$)

Hay $\widehat{OED}=\widehat{OCB}$

Xét ΔOBC có: OB = OC = R

⇒ ΔOBC cân tại O

⇒ $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$

Mà $\widehat{OBC}=\widehat{ODE}$ (cmt), $\widehat{OED}=\widehat{OCB}$ (cmt)

⇒ $\widehat{OED}=\widehat{ODE}$

Xét ΔOED có: $\widehat{OED}=\widehat{ODE}$ (cmt)

⇒ ΔOED cân tại O

Mà OI là đường cao (OI ⊥ DE)

⇒ OI là trung tuyến ⇒ I là trung điểm của DE

Xét tứ giác BDME có: 

BM cắt DE tại I

I là trung điểm của BM (gt)

I là trung điểm của ED (cmt)

⇒ Tứ giác BDME là hình bình hành

⇒ ME // BD ⇒ ME // AB

Xét ΔABC có:

M là trung điểm của BC (cmt)

ME // AB (cmt)

⇒ ME là đường trung bình của ΔABC

⇒ E là trung điểm của AC

Xét ΔABC có:

AM là trung tuyến (M là trung điểm của BC)

BE là trung tuyến (E là trung điểm của AC)

AM cắt BC tại G

⇒ G là trọng tâm của ΔABC

⇒ BG = 2GE