Vì ΔABCvuôngcân tại A ⇒

-AB=AC

-Góc ABC=Góc ACB=45độ

-ΔAFC vuông tại F ⇒góc FCA = 90 độ - góc FAC 

Lại có góc EAB= 90 độ - góc  FAC 

⇒Góc FCA = Góc EAB
Xét ΔAEB và ΔAFC có

Góc AEB = Góc AFC = 90 độ

AB = AC  (cmt)

Góc EAB = góc FCA ( cmt)

⇒ΔAEB = ΔAFC (ch-gn)

b ΔAEB = ΔAFC(cmt)⇒AE = FC

Xét ΔABM và ΔACM có

AB = AC(cmt)

Góc ABM = Góc ACM (cmt)

AM = MC
⇒ΔABM = ΔACM(c.g.c)

⇒Góc AMB = Góc AMC
Mà góc AMB + góc AMC = 180 độ (kề bù)

⇒Góc AMB = Góc AMC = 180 ĐỘ :2=90 độ

⇒AM ⊥ BC
ΔAMC vuông tại M ⇒

Góc MAC = 90 độ - góc MCA

Góc MAC = 90 độ - 45 độ = 45 độ

⇒Góc MAC = Góc MCA
⇒ΔMAC cân tại M

⇒MA = MC                                   

ΔAME vuông tại M ⇒góc MAE = 90 độ - góc MDA

ΔDFC vuông tại F ⇒góc MCF = 90 độ - góc FDC

Mà góc MDA = góc FDC ( đối đỉnh)
⇒Góc MAE = Góc MCF

 Xét ΔAME và ΔCMF có

AE  =  FC(cmt)

Góc MAE = Góc MCF ( cmt)

AM = MC (cmt)
⇒ΔAME = ΔCMF (c.g.c)
ΔAME = ΔCMF (cmt)⇒ME = MF
⇒ΔMEF cân tại M (1)
ΔAME = ΔCMF (cmt)
⇒Góc AME = Góc CMF
mà góc AME + góc EMD = 90 độ

⇒Góc EMD + Góc CMF = 90 độ

Hay  ΔMEF vuông tại M (2)
Từ (1) và (2) ⇒MEF vuông cân tại M

`a_)`

 Vì `Delta AEB` vuông tại `E`

`=> hat B_1 + hat {BAE} = 90^o(1)`

Ta có: `hat {BAC} = 90^o`

`=> hat {BAE} + hat A_1 = 90^o(2)`

Từ `(1)` và `(2) => hat A_1 = hat B_1`

Xét `Delta AEB` vuông tại `E` và `Delta CFA` vuông tại `F` có:

`AB = AC`(`Delta ABC` vuông cân tại `A`)

`hat B_1 = hat A_1(cmt)`

`=> Delta AEB = Delta CFA(ch-gn)(**)`

`b_)`

Gọi `AF cap BC = {I}`

Ta có: `AM = 1/2 BC`(tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong `Delta` vuông) mà `CM = 1/2 BC`(`M` là trung điểm `BC`)

`=> AM = CM`
Từ `(**) => AE = CF`(`2` cạnh tương ứng)

`Delta ABC` vuông cân tại `A` có `AM` là đường trung tuyến 

`=> AM` đồng thời là đường cao của` Delta ABC`

`=> AM bot BC`

`=> Delta AIM` vuông tại `M`

`=> hat A_2 + hat {I_2} = 90^o` mà `hat {I_1} = hat {I_2}`(`2` góc đối đỉnh)

`=> hat A_2 + hat {I_1} = 90^o(3)`

Vì `Delta CIF` vuông tại `F`

`=> hat C_1 + hat {I_1} = 90^o(4)`

Từ `(3)` và `(4) => hat A_2 = hat C_1`

Xét `Delta AME` và `Delta CMF` có:

`AM = CM(cmt)`

`hat A_2 = hat C_1(cmt)`

`AE = CF(cmt)`

`=> Delta AME = Delta CMF(c - g - c)(***)`

`c_)`

Từ `(***) => hat M_1 = hat M_3`(`2` góc tương ứng) và `ME = MF`(`2` cạnh tương ứng)

 Vì `AM bot BC(cmt)`

`=> hat {AMC} = 90^o`

`=> hat M_1 + hat M_2 = 90^o` mà `hat M_1 = hat M_3(cmt)`

`=> hat M_3 + hat M_2 = 90^o`

`=> hat EMF = 90^o(5)`

Vì `ME = MF(cmt)`

`=> Delta EMF` cân tại `M(6)`

Từ `(5)` và `(6) => Delta EMF` vuông cân