Đáp án:

`a,`

Xét `ΔBAD` và `ΔBKD` có :

`hat{BAD} = hat{BKD} = 90^o`

`BD` chung

`hat{ABD} = hat{KBD}` (giả thiết)

`-> ΔBAD = ΔBKD` (cạnh huyền - góc nhọn)

$\\$

$\\$

$b,$

Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔABC` có :

`hat{A} + hat{B} + hat{C} = 180^o`

`-> hat{C} = 180^o - 90^o - 60^o`

`-> hat{C} = 30^o`

Vì `BD` là tia phân giác của `hat{B}`

`-> hat{DBC} = 1/2 hat{B} = 1/2 . 60^o`

`-> hat{DBC} = 30^o`

Có : `hat{C} = 30^o, hat{DBC} = 30^o`

`-> hat{C} = hat{DBC} = 30^o`

`-> ΔBDC` cân tại `D`

$\\$

Vì `ΔBDC` cân tại `D`

`DK` là đường cao

`-> DK` là đường trung tuyến

`-> K` là trung điểm của `BC`

$\\$

$\\$

$d,$

Vì `ΔBAD = ΔBKD` (chứng minh trên)

`->` \(\left\{ \begin{array}{l}AB = KB=3cm\\AD = KD\end{array} \right.\) (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔADI` và `ΔKDC` có :

`hat{ADI} = hat{KDC}` (2 góc đối đỉnh)

`AD = KD` (chứng minh trên)

`hat{IAD} = hat{CKD} = 90^o`

`-> ΔADI  = ΔKDC` (góc - cạnh - góc)

`-> hat{C} = hat{I} = 30^o` (2 góc tương ứng)

va `AI = KC` (2 cạnh tương ứng)

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB + AI = BI\\BK + KC = BC\end{array} \right.\)

mà `AB = KB, AI = KC`

`-> BI = BC`

`-> ΔIBC` cân tại `B`

mà `hat{B} = 60^o`

`-> ΔIBC` đều

Vì `BD` là tia phân giác của `hat{B}`

`-> hat{DBI}=  1/2 hat{B} =1/2 . 60^o = 30^o`

Có : `hat{I} = 30^o, hat{DBI} = 30^o`

`-> hat{I} =hat{DBI}=  30^o`

`-> ΔIDB` cân tại `D`

`DA` là đường cao

`-> DA` là đường trung tuyến

`-> A` là trung điểm của `BBI`

`-> AB = 1/2 AI`

`-> 3 = 1/2AI`

`->AI=6cm`

Xét `ΔIKB` vuông tại `K` có :

`KB^2 + IK^2 = IB^2` (Pitago)

`-> IK^2= IB^2 - KB^2`

`-> IK^2 = 6^2 - 3^2`

`-> IK^2 =27`

`-> IK = \sqrt{27}cm`

$\\$

Xét `ΔIBC` có :

`IK` là đường cao

`CA` là đường cao

`IK` cắt `CA` tại `D`

`-> D` là trực tâm của `ΔIBC`

mà`ΔIBC` đều

`-> D` là trọng tâm của `ΔIBC`

`-> DI = 2/3IK`

`-> DI = 2/3 . \sqrt{27}`

`-> DI = 3,5cm`

b/ Xét \(ΔBAD\) và \(ΔBKD\):

\(\widehat{ABD}=\widehat{KBD}\) (\(BD\) là tia phân giác \(\widehat B\) )

\(BD\):chung

\(\widehat{BAD}=\widehat{BKD\) (\(=90°\) )

\(→ΔBAD=ΔBKD(CH-GN)\)

b/ \(BD\) là tia phân giác \(\widehat{ABC}\)

\(→\widehat{BDC}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\dfrac{60°}{2}=30°\)

Xét \(ΔABC\) vuông tại \(A\):

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90°\) hay \(60°+\widehat{ACB}=90°\)

\(↔\widehat{ACB}=30°\) hay \(\widehat{DCB}=30°\)

mà \(\widehat{BDC}=30°\)

\(→\widehat{DCB}=\widehat{BDC}(=30°)\)

Xét \(ΔBDC\):

\(\widehat{DCB}=\widehat{BDC}=30°\)

\(→ΔBDC\) cân tại \(D\)

d/ \(ΔBAD=ΔBKD→BA=BK=3cm\)

\(ΔBDC\) cân tại \(D\) mà \(DK\) là đường cao ứng \(BC\)

\(→DK\) là đường trung trực ứng \(BC\)

\(→BC=2BK=2.3=6(cm)\)

Xét \(ΔDAI\) và \(ΔDKC\):

\(\widehat{DAI}=\widehat{DKC}\) (\(=90°\) )

\(DA=DK\) (\(ΔBAD=ΔBKD\) )

\(\widehat{ADI}=\widehat{KDC}\) (đối đỉnh)

\(→ΔDAI=ΔDKC(g-c-g)\)

\(→AI=KC\) (2 cạnh tương ứng) mà \(BA=BK\)

\(→BA+AI=BD+KC\) hay \(BI=BC\)

\(→ΔBIC\) cân tại \(B\) mà \(\widehat B=60°\)

\(→ΔBIC\) đều

Xét \(ΔBIC\):

\(CA,IK\) là đường cao ứng \(BI,BC\)

mà \(CA∩IK≡\{D\}\)

\(→D\) là trực tâm \(ΔBIC\)

mà \(ΔBIC\) là tam giác đều

\(→D\) là trọng tâm \(ΔBIC\)

Áp dụng định lý Pytago vào \(ΔBIK\) vuông tại \(K\):

\(→IK=\sqrt{BI^2-BK^2}=\sqrt{(2AB)^2-BK^2}=\sqrt{(2.3)^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt 3(cm)\)

\(D\) là trọng tâm \(ΔBIC\)

\(→ID=\dfrac{2}{3}IK=\dfrac{2.3\sqrt 3}{3}=2\sqrt 3≈3,5(cm)\)

Vậy \(ID≈3,5(cm)\)