Ta xét hai trường hợp:

TH1: $x,y,z \ge 0$ 

Ta có: $\begin{array}{l} {2^x} + {5^y} \equiv {\left( { - 1} \right)^x} + {\left( { - 1} \right)^y}\left( {\bmod 3} \right)\\ {19^z} \equiv 1\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow {\left( { - 1} \right)^x} + {\left( { - 1} \right)^y} \equiv 1\left( {\bmod 3} \right) \end{array}$. Từ đó suy ra $x,y$ cùng lẻ.

Lại có $y$ lẻ nên $y\ge 1\Rightarrow 19^z-2^x=5^y\equiv 0 (\bmod 5)$

$\begin{array}{l}  \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^z} - {2^x} \equiv 0\left( {\bmod 5} \right)\\  \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^z} \equiv {2^x}\left( {\bmod 5} \right) \end{array}$

Vì $x$ lẻ nên ta xét $x=4k+1,x =4k+3( k\in \mathbb{Z+})$ nên $\begin{array}{l} x = 4k + 1 \Rightarrow {2^x} = {2^{4k + 1}} \equiv 2\left( {\bmod 5} \right)\\ x = 4k + 3 \Rightarrow {2^x} = {2^{4k + 3}} \equiv {2^3}\left( {\bmod 5} \right) \equiv 3\left( {\bmod 5} \right) \end{array}$

Từ đó ta có, ${\left( { - 1} \right)^z} \equiv 2,3\left( {\bmod 5} \right)(1)$. Xét tính chắn lẻ của $z$ ta được: ${\left( { - 1} \right)^z} \equiv  \pm 1\left( {\bmod 5} \right)$ nên nhận thấy rằng (1) vô lý.

TH2: $x,y,z$ trái dấu

-Hai âm một dương, thì hiệu hoặc tổng của hai số có số mũ âm luôn nhỏ hơn số có mũ dương, do đó không thể xảy ra đẳng thức, kéo theo PT nghiệm nguyên vô nghiệm.

-Hai dương một âm:

Hiệu hoặc tổng của hai số mũ dương thì luôn là số nguyên, trong khi số có mũ âm (hệ số khác 1) luôn không là số nguyên , kéo theo mâu thuẫn.

Vậy PT vô nghiệm, không tìm được $(x;y;z)$ thỏa mãn.