Giải thích các bước giải:

a.Ta có $CH$ là đường kính của $(K)$

$\to HD\perp DC, HE\perp CE$

Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to AC\perp BC$

$\to CDHE$ là hình chữ nhật

$\to CH=DE$

Ta có $CH\perp AB, HD\perp AC\to CH^2=CD.CA$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Tương tự $CH^2=CE.CB$

$\to CD.CA=CE.CB$

b.Ta có $\widehat{CDE}=\widehat{CHE}=90^o-\widehat{EHB}=\widehat{EBH}=\widehat{EBA}$

$\to ABED$ nội tiếp

Gọi $OC\cap DE=G$

$\to \widehat{GCE}=\widehat{OCB}=\widehat{OBC}=\widehat{ABE}=\widehat{CDE}$

$\to \widehat{GCE}+\widehat{GEC}=\widehat{CDE}+\widehat{DEC}=90^o$

$\to GC\perp DE$

$\to CO\perp DE$

c.Ta có $(K)\cap (O)=CF\to OK\perp CF\to OK\perp QC$

$\to OK$ là trung trực $CF$

Mà $CH\perp AB\to CH\perp QO, K\in CH\to K$ là trực tâm $\Delta CQO$

$\to QK\perp CO$

Do $KG\perp CO$

$\to Q, K, G$ thẳng hàng

$\to Q,D,E$ thẳng hàng

Ta có:

$\widehat{QFO}=180^o-\widehat{CFO}=180^o-\widehat{FCO}=180^o-\widehat{QCO}=180^o-\widehat{GKO}=\widehat{QKO}$ vì $K$ là trực tâm $\Delta CQO$

$\to OQFK$ nội tiếp

$\to Q=(FKO)\cap DE$

d.Ta có:

$S_{AHC}=54, S_{CHB}=96$

$\to \dfrac12CH\cdot AH=54, \dfrac12CH\cdot HB=96$

$\to CH\cdot AH=108, CH\cdot HB=192$

$\to \dfrac{CH\cdot AH}{CH\cdot HB}=\dfrac9{16}$

$\to \dfrac{AH}{HB}=\dfrac9{16}$

$\to AH=\dfrac9{16}\cdot HB$

Mặt khác $CH\cdot AH\cdot CH\cdot HB=20736$

$\to CH^2\cdot HA\cdot HB=20736$

$\to (HA\cdot HB)\cdot HA\cdot HB=20736$

$\to HA\cdot HB=144$

$\to \dfrac9{16}\cdot HB\cdot HB=144$

$\to HB=16$

$\to HA=9$

$\to AB=AH+HB=25$

$\to 2R=25$

$\to R=\dfrac{25}2$