Đáp án:

b/$ΔABC$ vuông cân tại $C$

c/ $A(MIN)=\dfrac{1}{2r^2}$ khi $ΔCMN$ vuông cân tại $C$

Giải thích các bước giải:

a/ Ta có: $AC$ và $AB$ tiếp xúc với đường tròn $(O; r)$ lần lượt tại $I$ và $H$.

$⇒ \widehat{AIO}=\widehat{AHO}=90^0$

$⇒ \widehat{AIO}+\widehat{AHO}=180^0$

$⇒$ Tứ giác $AHOI$ nội tiếp.

b/ Khi $HO$ là tia phân giác $\widehat{IHK}$:

Do $\widehat{AHO}=90^0$ nên $\widehat{AHI}=\widehat{BHK}$

Dễ có: $ΔAHI$ cân tại A $⇒ \widehat{AHI}=\dfrac{180^0-\widehat{IAH}}{2}$

và $ΔBHK$ cân tại B $⇒ \widehat{BHK}=\dfrac{180^0-\widehat{HBK}}{2}$

Từ đó suy ra: $\widehat{IAH}=\widehat{HBK}$

$⇒ ΔABC$ vuông cân tại $C$

Vậy $ΔABC$ vuông cân tại $C$ thì $HO$ là tia phân giác $\widehat{IHK}$

c/ Từ $C$ kẻ $CD ⊥ MN$ $(D ∈ MN)$

$ΔCMN$ vuông tại $C$ có $CD$ là đường cao

$⇒ A=\dfrac{1}{CM^2}+\dfrac{1}{CN^2}=\dfrac{1}{CD^2}$

Để $A$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $CD$ lớn nhất

Vì $CD \leq CO$ nên $A$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $D≡O$

Khi đó: $ΔCMN$ có $CD$ vừa là đường cao, đường phân giác

$⇒ ΔCMN$ vuông cân tại $C$

Tứ giác $CIOK$ có $\widehat{OIC}=\widehat{ICK}=\widehat{CKO}=90^0$

và $CI=CK$

$⇒ CIOK$ là hình vuông

$⇒ CO=\dfrac{OI}{sin45^0}=r\sqrt{2}$

$⇒ A(MIN)=\dfrac{1}{CO^2}=\dfrac{1}{2r^2}$

Vậy $A(MIN)=\dfrac{1}{2r^2}$ khi $ΔCMN$ vuông cân tại $C$