a, Xét (O), đường kính AB có: M ∈ (O)

⇒ $\widehat{AMB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AM ⊥ BP ⇒ $\widehat{AMP}=90°$

PC ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{ACP}=90°$ Hay $\widehat{BCP}=90°$

Xét tứ giác ACPM có: $\widehat{AMP}+\widehat{ACP}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn đường kính AP

b, Xét ΔBMA và ΔBCP có:

$\widehat{BMA}=\widehat{BCP}=90°$ 

$\widehat{PBC}$: góc chung

⇒ ΔBMA ~ ΔBCP (g.g)

⇒ $\frac{BM}{BC}=\frac{BA}{BP}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ BM.BP = BA.BC

Có BC=BA+CA=2R+R=3R

⇒ BM.BP=BA.BC=2R.3R=6R²

c, Tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn đường kính AP (cmt)

⇒ $\widehat{CPA}=\widehat{CMA}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{CA}$)

Hay $\widehat{CPQ}=\widehat{CMA}$

Xét (O) có: A, M, N, Q ∈ (O)

⇒ Tứ giác AMNQ nội tiếp (O)

⇒ $\widehat{AQN}+\widehat{AMN}=180°$ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà $\widehat{AMC}+\widehat{AMN}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{AQN}=\widehat{CMA}$ Hay $\widehat{PQN}=\widehat{CMA}$

Mà $\widehat{CPQ}=\widehat{CMA}$ (cmt)

⇒ $\widehat{CPQ}=\widehat{PQN}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong so PQ cắt CP và NQ

⇒ CP // NQ

d, Gọi D là trung điểm của BC, kẻ đường thẳng qua Q song song với MO cắt AO tại I

Mà BC cố định ⇒ D cố định

Có O, D cố định ⇒ I cố định

Xét ΔMBC có: G là trọng tâm của ΔMBC (gt)

⇒ $\frac{DG}{DM}=\frac{1}{3}$

Xét ΔOMD có: GI // MO (cách vẽ)

⇒ $\frac{DG}{DM}=\frac{GI}{MO}$ (hệ quả định lí Talet)

⇒ $\frac{GI}{MO}=\frac{1}{3}⇒GI=\frac{MO}{3}=\frac{R}{3}$

Mà R không đổi

⇒ G luôn cách I một khoảng bằng $\frac{R}{3}$

⇒ Khi M di động, G luôn thuộc đường tròn tâm I, bán kính $\frac{R}{3}$