Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta NIP;\widehat I = {90^0};NP = 15cm;NI = 12cm\\
 \Rightarrow IP = \sqrt {N{P^2} - N{I^2}}  = 9cm
\end{array}$

Vậy $IP=9cm$

b) Ta có:

$PQ = IP + QI = 25cm$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\Delta NIQ;\widehat I = {90^0};NI = 12cm;QI = 16cm\\
 \Rightarrow QN = \sqrt {N{I^2} + I{Q^2}}  = 20cm
\end{array}$

Như vậy:

$\begin{array}{l}
\Delta PNQ;NP = 15cm;NQ = 20cm;PQ = 25cm\\
 \Rightarrow N{P^2} + N{Q^2} = P{Q^2}\\
 \Rightarrow \Delta PNQ;\widehat N = {90^0}\\
 \Rightarrow NQ \bot NP
\end{array}$

c) Kẻ $MH\bot PQ=H$

Ta có:

$MNPQ$ là hình thang cân nên $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
MQ = NP\\
\widehat {MQH} = \widehat {NPI}
\end{array} \right.$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {MHQ} = \widehat {NIP} = {90^0}\\
MQ = NP\\
\widehat {MQH} = \widehat {NPI}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta MHQ = \Delta NIP\left( {ch - gn} \right)\\
 \Rightarrow QH = IP
\end{array}$

Lại có:

$MN//IH;MH//NI$

$\to MNIH$ là hình bình hành

Mà $\widehat{MHI}=90^0$

$\to MNIH$ là hình chữ nhật

$\to MN=IH$

Như vậy: 

$MN = IH = PQ - QH - IP = PQ - 2IP = 25 - 2.9 = 7cm$

Khi đó:

${S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}NI.\left( {MN + PQ} \right) = \dfrac{1}{2}.12.\left( {7 + 25} \right) = 192c{m^2}$

Vậy ${S_{MNPQ}} = 192c{m^2}$

d) Ta có:

$NE $ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $PQ$ của tam giác $NPQ$

$\to NE=EQ=EP$

$\to \Delta ENQ$ cân ở $E$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {ENQ} = \widehat {EQN}\\
 \Rightarrow \widehat {EQN} = \widehat {PNK}\left( {do:\widehat {EQN} = \widehat {PNK}\left( { + \widehat {ENP} = {{90}^0}} \right)} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {KQN} = \widehat {KNP}
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {KQN} = \widehat {KNP}\\
\widehat Kchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta KQN \sim \Delta KNP\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{KN}}{{KP}} = \dfrac{{KQ}}{{KN}}\\
 \Rightarrow K{N^2} = KP.KQ
\end{array}$