`\text{a)}`

Xét `\Delta BMI` và `\Delta CNI` có :

`IB = IC ( \text{gt} )`

`\hat{B} = \hat{C} ( \text{gt} )`

`=> \Delta BMI = \Delta CNI ( \text{ch-gn} )`

`\text{b)}`

Ta có :

`\Delta BMI = \Delta CNI ( \text{ch-gn} )`

`-> MB = NC` ( cạnh tương ứng )

`-> AB - MB = AC - NC`

`-> AM = AN`

`-> \Delta AMN` là `\Delta ` cân tại `A`

`\text{c)}`           

Xét `\Delta ABI` và `\Delta ACI` :

`AB = AC`

`IB = IC`

`AI` _ cạnh chung

`=> \Delta ABI = \Delta ACI ( c .c . c )`

`-> \hat{AIB} = \hat{AIC}` 

Mà `\hat{AIB} + \hat{AIC} = 180^o`

`-> \hat{AIB} = \hat{AIC} = 90^o`

Áp dụng định lý Py-ta-go cho `\Delta AIC ; \Delta AIN ; \Delta NIC` :

`=>` $\begin{cases} AC^2 =AI^2 + IC^2 \\ AI^2 = AN^2 + IN^2 \\ IC^2 =IN^2 + NC^2 \end{cases}$   

`=>`  $\begin{cases} AC^2 = AI^2 + IC^2 \\ AN^2 = AI^2 - IN^2 \\ NC^2 = IC^2 - IN^2 \end{cases}$

`-> AC^2 - AN^2 - NC^2 = (AI^2 + IC^2) - (AI^2 - IN)^2 - (IC^2 - IN^2)`

`-> AC^2 - AN^2 - NC^2 = (AI^2 - AI^2) + (IC^2 - IC^2) + ( IN^2 + IN^2)`

`-> AC^2 - AN^2 - NC^2 = 2IN^2`

`-> 2IN^2 = AC^2 - AN^2 - NC^2`   

Đáp án:

 a, Xét ΔBMI và ΔCNI có:

`hat{ BMI}`=`hat{CNI}`= 90°

IB = IC( I là trung điểm củ BC)

`hat{ MBI}` = `hat{NCI}`( ΔABC cân tại A)

⇒ ΔBMI = ΔCNI ( cạnh huyền - góc nhọn)

b, Từ ΔBMI = ΔCNI( c/m câu a)

⇒ BM = CN

TừΔ ABC cân tại A ⇒ AB =AC

⇒ AB - BM = AC - CN

Hay AM = AN

⇒ΔAMN cân tại A

c, Xét ΔABI và ΔACI có

AB = AC (c/m trên)

IB=IC(gt)

AI : cạnh chung

⇒ΔABI = ΔACI ( c-c-c)

⇒ `hat{ AIB}`=`hat{AIC}`

Mà `hat{AIB}`+`hat{AIC}`=180°

⇒ `hat{ AIB}`=`hat{AIC}` = 90°

Áp dụng định lý Pytago cho 3Δ vuông: AIC; AIN ; NIC, ta được

$\left \{ {{AC^2 =AI^2+IC^2} \atop {AI^2=AN^2+IN^2}} \right.$ 

IC²= IN²+NC²

`→AC² - AN²- NC² =(AI² + IC²)- (AI² - IN²) - (IC² - IN²)`

`→ AC² - AN² - NC² = 2IN²` ( đpcm)