a. Xét ΔOAE và ΔOCA :

∠OAC chung

∠OAE = ∠OCA ( cùng nhìn cung AB )

⇒ ΔOAE đồng dạng ΔOCA ( g.g )

⇒$\frac{OA}{OC}$ = $\frac{OE}{OA}$  ⇔ $OA^2$  = OE.OC   (1)

Chứng minh tương tự ta có: ΔOEB đồng dạng ΔOBC (g.g)

⇒ $\frac{OB}{OC}$ = $\frac{OE}{OB}$  ⇔ $OB^2$  = OE.OC    (2)

Từ (1) và (2) Ta có : OA = OB

- Do :

+ ΔOAE đồng dạng ΔOCA => $\frac{AE}{AC}$ = $\frac{OE}{OA}$

+ ΔOEB đồng dạng ΔOBC => $\frac{BE}{BC}$ = $\frac{OE}{OB}$

=> $\frac{AE}{AC}$ = $\frac{BE}{BC}$

<=> EB.CA = EA.CB

b. Xét ΔKBE và ΔKAB :

Góc BKA chung

Góc KAB = KBE ( cùng nhìn cung BE )

=> ΔKBE đồng dạng ΔKAB (g.g)

=> $\frac{KB}{KA}$ = $\frac{KE}{KB}$ <=> $KB^2$ = KA.KE (*)

Ta có:

+ Góc KOE = OCA ( do OK // AC )

+ Góc OCA = OAK

=> Góc KOE = OAK

=> ΔKOE đồng dạng ΔOAK

=> $OK^2$ = KA.KE (**)

Từ (*) và (**) => OK = KB

hay K là trung điểm OB

c. Dễ thấy ADCF, BFCH là 2 tứ giác nội tiếp

=> FDC = FAC = HBC = BEC

=> ΔCDF đồng dạng ΔCFH (g.g)

=> $\frac{CD}{CF}$ = $\frac{CF}{CH}$

=> $CF^2$ = CH.CD