Đáp án:

Ta có: ∠DHB=90 (DE⊥AB tại H) ⇒∠DHC=90

          ∠CKB=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC) ⇒∠CKD=90

Xét tứ giác DHCKcó ∠DHC+∠CKD=180, mà hai góc ở vị trí đối diện nên tứ giácDHCK nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)

Có DE⊥AB⇒HD=HE (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Lại có HA=HC(gt) nên tứ giácDAEC là hình bình hành ⇒CE//DA(t/c)

Lại có: ∠CKB=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC) ⇒CK⊥KB (1)

Mà ∠ADB=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) ⇒AD⊥DB (2)

Từ (1) và (2) suy ra CK//AD (từ vuông góc đến song song).

Mà CE//AD(cmt) nên theo tiên đề Ơclit suy ra ba điểm E,C,K thẳng hàng.

Kẻ đường kính MP(O). Nối NP cắt BA tại I. Nối EP,EB

Có ∠MNP=90∠MNP=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒MN⊥NP

Mà MN⊥DE(gt) nên NP//DE (từ vuông góc đến song song)⇒DNPE là hình thang.

Lại có DE⊥AB,NP//DE⇒NP⊥AB ⇒I là trung điểm của NP (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) ⇒B là điểm chính giữa cung NP.

⇒ số đo cung NB = số đo cung PB.

ta có tam giác ΔBDE cân tại B (đường cao BH cũng là đường trung tuyến)

⇒BD=BE⇒ số đo cung BD= số đo cung BE.

⇒số đo cungDB−số đo cungBN=số đo cungEB-số đo cungBP⇒số đo cungDN=số đo cungEP⇒DN=EP(hai dây căng hai cung bằng nhau thì bằng nhau).

Do đó EM2+DN2=EM2+EP2=MP2 (do tam giác ΔMEP vuông tại E). Mà MP=AB (đường kính).

Vậy EM2+DN2=AB2 

Giải thích các bước giải: